Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 00 (XXXX), 000–000

K_{2} et conjecture de Greenberg dans les ℤ_{p}-extensions multiples

par Thong NGUYEN QUANG DO et David VAUCLAIR

Résumé. Pour un corps de nombres K contenant une racine primitive p^{ième} de l’unité, nous proposons une condition suffisante pour la validité de la conjecture de Greenberg généralisée. Celle-ci s’applique pour les corps cyclotomiques vérifiant certaines conditions, par exemple ℚ(μ_{37}).

Abstract. For a number field K containing a primitive p^{th} root of unity, we study a sufficient condition, in terms of K_{2}, for the validity of Greenberg’s generalized conjecture. This applies to cyclotomic fields ℚ(μ_{p}) satisfying certain conditions, e.g. ℚ(μ_{37}).

1. Introduction

p est un nombre premier impair et K un corps de nombres ([K : ℚ] < ∞).

1.1. Conjecture de Greenberg classique (G).

Soit K un corps totalement réel, et K^{c} = ∪_{n}K_{n} sa ℤ_{p}-extension cyclotomique. On note A_{n} le p-Sylow du groupe des (p)-classes de K_{n} (c’està-dire le groupe des classes à support hors de (p)) , X(K^{c}) = lim_{⟵}A_{n}, et A(K^{c}) = lim_{⟶}A_{n}. La conjecture de Greenberg classique ([4]) s’énonce ainsi :

Conjecture 1.1. (G) X(K^{c}) ∼ 0 (pseudo-nul, c’est-à-dire fini) ou, de façon équivalente, A(K^{c}) = 0.

L’équivalence tient au fait bien connu suivant ([8]) :

X(K^{c}) ∼ A(K^{c})^{∨} := Hom(A(K^{c}), ℚ_{p}/ℤ_{p})

1.2. Conjecture de Greenberg généralisée (GG).

Pour un corps de nombres K quelconque, on note K̃ le composé de toutes ses ℤ_{p}-extensions. Dans [5] Greenberg généralise sa conjecture de la façon suivante :

Conjecture 1.2. (GG) X(K̃) ∼ 0, ou A(K̃) = 0.

On ne sait pas précisément si ces deux propriétés sont équivalentes. Moyennant quelques hypothèses de décomposition, l’équivalence est montrée dans [13] (mais avec une erreur, voir l’appendice pour l’équivalence sous certaines conditions).

Curieusement, on ne connaît pour (G) que des résultats numériques, alors qu’un résultat théorique a été obtenu pour (GG) et K = ℚ(μ_{p}) par Mc Callum [13] (voir aussi Marshall [14]). Les hypothèses de Mc Callum et Marshall sont nombreuses, techniques et très fortes (elles entraînent la conjecture de Vandiver). On peut les condenser pour énoncer le “théorème” suivant :

Enoncé 1.3. (MC) Si K = ℚ(μ_{p}) et si t_{ℤ_{p}}X (K) est cyclique d’ordre p, alors (GG) est vraie pour K.

Ici X (K) est le groupe de Galois de la pro-p-extension (p)-ramifiée abélienne maximale de K.

Un point-clé de la démonstration de ce “théorème” est l’énoncé suivant :

Enoncé 1.4. (MC′) Si K contient μ_{p} et possède une seule (p)-place, le Λ̃-module Gal(Ñ/K̃) est sans Λ̃-torsion.

Ici Ñ est l’extension de K̃ obtenue par extraction de toutes les racines p^{n}-ièmes des (p)-unités de K̃.

En fait, en reprenant les méthodes de Mc Callum, il est possible de généraliser l’énoncé 1.3 de la façon suivante (voir appendice).

Proposition 1.1. Si K vérifie la conjecture de Leopoldt, contient μ_{p} et possède une seule place au-dessus de p, si t_{ℤ_{p}}X (K) est cyclique et si G(Ñ/K̃) est sans Λ̃-torsion, alors (GG) est vraie pour K dès que A(K) capitule dans K̃.

Malheureusement, la démonstration de 1.4 utilise de façon cruciale [15], Theorem 8, dont la preuve est erronée (et ne semble pas réparable par les seules méthodes de [15], voir appendice). Comme d’habitude, la difficulté provient des unités et des modules d’Iwasawa qui leur sont attachés, et dont la structure est mal contrôlée. En conséquence, la proposition 1.1 devient inintéressante et l’énoncé 1.3 incertain.

L’objectif principal de cet article est la démonstration du théorème 1.5 ci-dessous, qui remplace l’énoncé 1.1 et permettrait, si l’on connaissait un bon analogue du (p)-corps de Hilbert pour le noyau modéré, de retrouver un résultat proche de 1.3.

Théorème 1.5. Si K contient μ_{p}, vérifie la conjecture de Leopoldt, et si t_{ℤ_{p}}X (K) est cyclique, alors (GG) est vraie pour K dès que K_{2}O′_{K}{p} capitule dans K̃.

K_{2} et conj. de Greenberg 3

1.3. Principe.

Si l’on suppose que K contient μ_{p}, on sait que (GG) est équivalente à la nullité de tΛ̃X (K̃) (voir l’appendice et [13] ou [15]).

Le principe de départ est le même que dans [15] : Soit δ l’homomorphisme de codescente δ : tΛ̃X (K̃)Γ̃ → X (K) (en fait, si K vérifie la conjecture de Leopoldt, on peut montrer que l’image de δ est contenue dans t_{ℤ_{p}}X (K), voir le lemme 3.4). La nullité de tΛ̃X (K̃) est équivalente à la conjonction des deux propriétés suivantes : (H1) : δ est injectif. (H2) : δ est nul.

Les sections 2 et 3 étudient ces hypothèses et leurs analogues “tordues”. La section 4 utilise ces résultats pour montrer le théorème 1.5 et un théorème de montée. En appendice, on prouve la proposition 1.1, et l’on complète la preuve de [13] pour l’équivalence des différentes formulations de (GG) sous les hypothèses adéquates.

Notations

K désigne un corps de nombres, et l’on supposera toujours μ_{p} ⊂ K. K^{c} la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K. L une ℤ_{p}^{s}-extension de K, s ≥ 1. F/K une sous-extension finie de L/K. K̃ le composé de toutes les ℤ_{p}-extensions de K. Γ^{c} = G(K^{c}/K). Γ = G(L/K). Γ̃ = G(K̃/K). Λ^{c} = ℤ_{p}[[Γ^{c}]]. Λ = ℤ_{p}[[Γ]]. Λ̃ = ℤ_{p}[[Γ̃]]. Pour un pro-p-groupe G, Λ_{G} est l’algèbre complète ℤ_{p}[[G]]. Si M est un R-module (R désigne ℤ_{p} ou l’une des algèbres complètes définies ci-dessus), on note t_{R}M sa torsion et f_{R}M = M/t_{R}M. M^{∨} désigne le dual de Pontryagin de M, ie. M^{∨} = Hom(M, ℚ_{p}/ℤ_{p}). Si un groupe agit à gauche sur M, on munit M^{∨} de l’action à gauche habituelle (σf)(x) = σ(f(σ^{−1}x)). A(F) le p-groupe des (p)-classes d’idéaux, A(L) = lim_{⟶}A(F). X(F) le pro-p-groupe de Galois (p)-ramifié, (p)-décomposé abélien maxi-

mal, X(L) = lim_{⟵}X(F).

O′_{F} = O_{F} [\frac{1}{p}] l’anneau des (p)-entiers de F.

X^{(2)}(L) = lim_{⟵}K_{2}O′_{F} {p}.

G_{S}(F) le pro-p-groupe de Galois (p)-ramifié maximal de F. On note aussi G_{S} = G_{S}(K). I_{G_{S}} = l’idéal d’augmentation de l’algèbre complète Λ_{G_{S}} = ℤ_{p}[[G_{S}]]. X (F) = G_{S}(F)^{ab} X^{(i)}(F) = H_{1}(G_{S}(F), ℤ_{p}(i)). Y^{(i)}(F) = H_{0}(G_{S}(F), I_{G_{S}}(i)). s = le rang de Γ i.e. de G(L/K). d = dim_{ℤ/p}H_{1}(G_{S}, ℤ/p) le nombre minimal de générateurs de G_{S}. r = dim_{ℤ/p}H_{2}(G_{S}, ℤ/p) le nombre minimal de relations de G_{S}. s_{p}(F) = le nombre de (p)-places de F.

2. Injectivité de δ^{(i)}

On introduit des versions “tordues” de l’homomorphisme δ de l’introduction et l’on donne une condition suffisante pour leur injectivité.

L/K est une ℤ_{p}^{s}-extension, Γ = G(L/K) et Λ = ℤ_{p}[[Γ]]. Pour i ∈ ℤ, on définit les Λ-modules X^{(i)}(L) = H_{1}(G_{S}(L), ℤ_{p}(i)) = H^{1}(G_{S}(L), ℚ_{p}/ℤ_{p}(−i))^{∨} et Y^{(i)}(L) = H_{0}(G_{S}(L), I_{G_{S}}(i)). Remarquons que X^{(i)}(L) ne dépend pas de K, alors que Y^{(i)}(L) en dépend. On fixe aussi une présentation pro-p-libre minimale R ↪ F ↠ G_{S}, c’est-à-dire que F est pro-p-libre et a même invariant d que G_{S}. Le caractère cyclotomique κ : Γ^{c} → ℤ_{p}^{×} donne par inflation un caractère F → ℤ_{p}^{×}, via lequel on peut tordre tout F -module “à la Tate”. La proposition suivante établit le lien entre X^{(i)}(L) et Y^{(i)}(L) et montre en particulier qu’ils ont la même Λ-torsion. Si G_{S} agit sur un ℤ_{p}-module M, on note M_{G_{S}} ses coïnvariants.

Proposition 2.1. Pour tout i ∈ ℤ, il existe deux suites exactes de Λmodules

X^{(i)}(L) ↪ Y^{(i)}(L) ⟶ Λ ↠ ℤ_{p}(i)_{G_{S}(L)}
H_{2}(G_{S}(L), ℤ_{p}(i)) ↪ R^{ab}(i)_{G_{S}(L)} ⟶ (I_{F} (i)_{R})_{G_{S}(L)} ↠ Y^{(i)}(L)

Dans cette dernière, les deux termes du milieu sont libres, de rangs respectifs r (nombre de relations de G_{S}) et d (nombre de générateurs de G_{S}).

Démonstration. La première suite exacte s’obtient en écrivant la G_{S}(L)- homologie de la suite exacte d’augmentation de G_{S} tordue :

0 ⟶ I_{G_{S}}(i) ⟶ Λ_{G_{S}} ⟶ ℤ_{p}(i) ⟶ 0

Ecrivons ensuite la R-homologie de la suite exacte d’augmentation de F tordue :

0 ⟶ R^{ab}(i) ⟶ I_{F} (i)_{R} ⟶ I_{G_{S}}(i) ⟶ 0

Rappelons que I_{F} s’identifie au module des dérivations universelles de F, et que ce dernier est Λ_{F} -libre de rang d. Comme Λ_{F} (i) s’identifie à Λ_{F} comme Λ_{F} -module, I_{F} (i) est libre aussi. La G_{S}(L)-homologie de la suite exacte précédente donne la seconde suite exacte de la proposition.

A cause de cd G_{S} ≤ 2, les deux termes du milieu de la seconde suite exacte de l’énoncé s’identifient respectivement à Λ^{r} et Λ^{d}. On pourra consulter [17] pour plus de détails, notamment quant à l’interprétation de la flèche entre ces deux modules par dérivation de Fox des relations de G_{S}. □

Remarque 1. Si L ⊃ K^{c}, on sait (voir [17], théorème 2.2) que l’on a H_{2}(G_{S}(L), ℤ_{p}(i)) = 0. La seconde suite exacte de la proposition devient alors

0 ⟶ Λ^{r} ⟶ Λ^{d} ⟶ Y^{(i)}(L) ⟶ 0

Si l’on écrit sa codescendue et qu’on la compare avec son analogue pour L = K, on obtient H_{1}(Γ, Y^{(i)}(K̃)) = H_{2}(G_{S}, ℤ_{p}(i)).

Soit δ^{(i)} : t_{Λ}X^{(i)}(L)_{Γ} → X^{(i)}(K) l’homomorphisme canonique induit par la codescente Y^{(i)}(L)_{Γ} → Y^{(i)}(K). L’homomorphisme δ^{(0)} est le δ de l’introduction.

En tenant compte de la remarque précédente, on obtient une expression de Kerδ^{(i)} pour les “bons” i :

Proposition 2.2. Soit i ∈ ℤ tel que H_{2}(G_{S}, ℤ_{p}(i)) et H_{2}(G_{S}(L), ℤ_{p}(i)) soient nuls. Alors Kerδ^{(i)} = H_{1}(Γ, f_{Λ}Y^{(i)}(L)). En particulier, δ^{(i)} est injectif si s = 1, puisque dans ce cas H_{1}(Γ, f_{Λ}Y^{(i)}(L)) = f_{Λ}Y^{(i)}(L)^{Γ} = 0.

Pour les ℤ_{p}-extensions multiples, on ne sait pas faire mieux que le lemme algébrique suivant, dû à Mc Callum :

Lemme 2.1. ([15] Lemma 24) On suppose que r = 1. Si H_{2}(G_{S}, ℤ_{p}(i)) et H_{2}(G_{S}(L), ℤ_{p}(i)) sont nuls, alors δ^{(i)} est injectif.

Remarque 2. Si K vérifie la conjecture de Leopoldt, r = 1 signifie que t_{ℤ_{p}}X (K) est cyclique.

Démonstration. Nous proposons pour 2.1 une preuve différente de celle de [15], ceci dans le but “d’expliquer” l’hypothèse r = 1. Comme on suppose que H_{2}(G_{S}(L), ℤ_{p}(i)) = 0, c’est que Y^{(i)}(L) est de dimension projective inférieure ou égale à 1. Notons pour k ≥ 0, E^{k}(•) = Ext_{Λ}^{k}(•, Λ) (donc E^{0}(•) = Hom_{Λ}(•, Λ)). D’après [9] theorem 1.6 et lemma 1.8, puisque pd_{Λ}Y^{(i)}(L) ≤ 1, E^{1}(E^{1}(Y^{(i)}(L)) est canoniquement isomorphe au noyau de l’homomorphisme naturel Y^{(i)}(L) → E^{0}(E^{0}(Y^{(i)}(L))). Mais ce dernier noyau n’est autre que t_{Λ}Y^{(i)}(L), on en conclut donc que t_{Λ}Y^{(i)}(L) = E^{1}(E^{1}(Y^{(i)}(L)). Appliquant le foncteur E^{•} à la suite exacte

0 ⟶ Λ ⟶^{Φ} Λ^{d} ⟶ Y^{(i)}(L) ⟶ 0

on obtient

0 ⟶ M ⟶^{E^{0}(Φ)} Λ ⟶ E^{1}(Y^{(i)}(L)) ⟶ 0

où M est défini par l’exactitude de la suite. En recommençant, on obtient un diagramme commutatif

0 ⟶ Λ ⟶^{E^{0}(E^{0}(Φ))} E^{0}(M) ⟶ t_{Λ}Y^{(i)}(L) ⟶ 0
↓  ↓  ↓
0 ⟶ Λ ⟶^{Φ}  Λ^{d} ⟶ Y^{(i)}(L) ⟶ 0

En prenant l’homologie par rapport à Γ, on obtient

H_{1}(Γ, f_{Λ}Y^{(i)}(L)) ⟶^{=} H_{1}(Γ, f_{Λ}Y^{(i)}(L))
↓  ↓
0 ⟶ ℤ_{p} ⟶  E^{0}(M)_{Γ}  ⟶ (t_{Λ}Y^{(i)}(L))_{Γ} ⟶ 0
↓  ↓  ↓
0 ⟶ ℤ_{p} ⟶  ℤ_{p}^{d}  ⟶  Y^{(i)}(K)  ⟶ 0

Comme (t_{Λ}Y^{(i)}(L))_{Γ} est de ℤ_{p}-torsion (cf lemme 3.4), on lit sur ce diagramme que H_{1}(Γ, f_{Λ}Y^{(i)}(L)) = t_{ℤ_{p}}E^{0}(M)_{Γ}. C’est ici qu’intervient l’hypothèse r = 1 : Il est bien connu que pour s = 1, un module est libre si et seulement s’il est réflexif, mais pour s > 1, l’équivalence n’est conservée que pour les idéaux (i.e. les modules de rang 1) (voir [1] VII§4.2 Example (2) et noter qu’ici un idéal divisoriel est principal, puisque Λ est factoriel). Comme E^{0}(M) est réflexif de rang 1, il est libre, et H_{1}(Γ, f_{Λ}Y^{(i)}(L)) = t_{ℤ_{p}}E^{0}(M)_{Γ} = 0, ce qui termine la preuve du lemme.

Pour la commodité du lecteur, on redonne ici l’argument : disons que \{m_{1}, .., m_{q}\} engendrent M comme idéal de Λ, alors E^{0}(M) = \frac{1}{pgcd(m_{j})}Λ, cette égalité ayant lieu dans Hom_{Q}(M ⊗_{Λ} Q, Q), identifié à Q, où Q est le corps des fractions de Λ. □

3. Nullité de δ^{(i)}

L’objectif principal de cette section est la preuve du théorème suivant, qui fait le lien entre le problème de la nullité de δ^{(i)} et un problème de capitulation.

On rappelle que L/K est une ℤ_{p}^{s}-extension, et que F/K une sousextension finie de L/K. On note H_{S}^{q}(F, −i) = H^{q}(G_{S}(F), ℚ_{p}/ℤ_{p}(−i)). Si M est un groupe abélien, on note M^{div} son sous-groupe divisible maximal.

Théorème 3.1. Soit i tel que H_{2}(G_{S}(F), ℤ_{p}(i)) = 0 pour toute sousextension finie F de L/K (par ex. i = −2, cf [19]). Alors δ^{(i)} s’identifie naturellement à la flèche duale de l’application de capitulation :

H_{S}^{1}(K, −i)/H_{S}^{1}(K, −i)^{div} ⟶ lim_{⟶}(H_{S}^{1}(F, −i)/H_{S}^{1}(F, −i)^{div})

Remarque 3. Soit i comme ci-dessus. Supposons que le ℤ_{p}-rang du groupe de décomposition Γ_{v} de Γ est ≥ 2 pour toute place v au-dessus de p (c’est par exemple le cas pour L = K̃). On définit le groupe de cohomologie padique H^{q}(G_{S}(F), ℤ_{p}(−i)) = lim_{⟵}_{k}H^{q}(G_{S}(F), ℤ/p^{k}(−i)). Pour un module M discret, le noyau de localisation est défini par la suite exacte

Ker_{S}^{q}(F, M) ↪ H^{q}(G_{S}(F), M) ⟶ ⨁_{v|p} H^{q}(F_{v}, M)

Par passage à la limite projective, on définit encore Ker_{S}^{q}(F, ℤ_{p}(−i)). On a alors (cf [18]) H_{S}^{1}(F, −i)/H_{S}^{1}(F, −i)^{div} = H^{2}(G_{S}(F), ℤ_{p}(−i)), et le début de la suite exacte de Poitou-Tate (loc.cit.), permet de montrer facilement que

lim_{⟶}_{F} H^{2}(G_{S}(F), ℤ_{p}(−i)) = lim_{⟶}_{F} Ker_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(−i)).

Pour i = −2, Tate a construit un isomorphisme

K_{2}O′_{L}{p} ≃ H^{2}(G_{S}(F), ℤ_{p}(2)).

On obtient alors K_{2}O′_{L}{p} = W K2^{ét}(L), où W K2^{ét} désigne le noyau sauvage étale (i.e. la p-partie du noyau des symboles de Hilbert).

Le théorème 3.1 découle immédiatement, par dualité, de la description suivante de t_{Λ}X^{(i)}(L) :

Proposition 3.1. Pour tout i ∈ ℤ, lim_{⟵}t_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F) ⊂ t_{Λ}X^{(i)}(L). Si i est

choisi comme dans le théorème 3.1, alors lim_{⟵}t_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F) = t_{Λ}X^{(i)}(L).

Pour la première assertion, il s’agit de montrer que les Λ-rangs de X^{(i)}(L) et lim_{⟵}f_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F) sont égaux. Pour cela, quelques préliminaires algébriques sont nécessaires.

3.1. Caractérisation du rang d’un Λ-module.

On fixe un isomorphisme Λ = Λ_{0}[[T]] = Λ_{0}[[G]], où Γ = H × G, G = ℤ_{p}, Λ_{0} = ℤ_{p}[[H]]. On note aussi G_{n} = G^{p^{n}}.

L’objet de ce paragraphe est la preuve du résultat suivant :

Proposition 3.2. Soit M un Λ-module noethérien. Alors

rg_{Λ}M = lim_{n→∞} \frac{rg_{Λ_{0}}M_{G_{n}}}{p^{n}}

En fait ce résultat s’obtient directement en combinant les deux lemmes suivants :

Lemme 3.1. Si M est un Λ-module noethérien sans torsion, alors

rg_{Λ_{0}}M_{G_{n}} = p^{n}rg_{Λ}M

Lemme 3.2. Si M est un Λ-module noethérien, alors M est de torsion si et seulement si M_{G_{n}} est de Λ_{0}-rang borné.

On rappelle que pseudo-nul signifie localement nul (i.e. le localisé en tout premier de hauteur 1 est nul). Commençons par un lemme.

Lemme 3.3. Si M ∼ 0, alors M_{G_{n}} est un Λ_{0}-module de torsion.

Démonstration. D’après [1] VII §4.8 prop. 18, si M ∼ 0 comme Λ-module, c’est que M ∼ 0 comme Λ_{0}[[G_{n}]]-module. Il suffit donc de montrer le lemme pour n = 0. Comme M ∼ 0, M possède un annulateur premier à T, donc M_{G} est de Λ_{0}-torsion. □

Montrons maintenant le lemme 3.1.

Démonstration. Soit ω_{n}(T) = (T + 1)^{p^{n}} − 1. Comme Λ_{0}[[T]] est entier sur Λ_{0}[[ω_{n}(T)]] et que ce dernier anneau est intégralement clos (car factoriel), on voit que tout module de Λ_{0}[[T]]-torsion est de Λ_{0}[[ω_{n}(T)]]-torsion. Par ailleurs, on voit facilement que rg_{Λ_{0}[[ω_{n}(T)]]}M = p^{n}rg_{Λ_{0}[[T]]}M. Ces deux remarques ramènent la preuve du lemme au cas où n = 0. Soit donc r = rg_{Λ_{0}[[T]]}M. Il existe un plongement M ↪ Λ_{0}[[T]]^{r} dont le conoyau Z est annulé par des éléments non divisibles par T. Il suffit en effet de relever un isomorphisme qui provient de la localisation en (T). Mais alors le lemme du serpent donne une suite exacte

Z^{G} ↪ M_{G} ⟶ Λ_{0}^{r} ↠ Z_{G}

Comme Z^{G} et Z_{G} sont de Λ_{0}-torsion, on obtient rg_{Λ_{0}}M_{G} = r, ce qui termine la preuve de 3.1. □

Passons au lemme 3.2.

Démonstration. Supposons d’abord M de torsion. Alors, grâce au théorème de structure des modules de type fini sur un anneau noethérien intégralement clos ([1] VII §4.4 Th.5) , on sait qu’il existe une suite exacte

E ↪ M ↠ Z

où E est un module élémentaire, et Z est pseudo-nul. Il suffit donc de vérifier le lemme pour E et Z. Pour Z, il est trivial grâce au lemme 3.3. On peut évidemment supposer E = Λ/(f^{k}), où f est un élément irréductible de Λ. En fait on peut même se ramener au cas où k = 1 en exécutant une récurrence immédiate grâce à la suite exacte

Λ/(f^{k−1}) ↪ Λ/(f^{k}) ↠ Λ/(f)

Or si E = Λ/(f), de deux choses l’une : Soit f et ω_{n} sont premiers entre eux pour tout n et dans ce cas, E_{G_{n}} est de Λ_{0}-torsion (3.3), ce qui règle la question. Soit il existe n tel que f | ω_{n}, et alors E_{G_{n}} = E pour n grand, le rang cherché est donc bien borné et cela termine la preuve du sens direct.

La réciproque est une conséquence immédiate de 3.1. Supposons rg_{Λ_{0}}M_{G_{n}} borné, alors rg_{Λ_{0}}(f_{Λ_{0}[[T]]}M)_{G_{n}} l’est aussi, et le lemme 3.1 montre que dans ce cas f_{Λ}M est nul, ce qui termine la preuve de 3.2. □

Question : Peut-on montrer une proposition analogue en remplaçant T par plusieurs variables ? Ce qui manque a priori, c’est le lemme du serpent.

3.2. Comparaison des Λ-rangs de X^{(i)}(L) et de lim_{⟵}f_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F).

Nous sommes maintenant en mesure de prouver la proposition 3.1. On fixe un isomorphisme Γ = ℤ_{p}^{s} via un sytème de générateurs {γ_{1}, .., γ_{s}}, et donc Λ = ℤ_{p}[[Γ]] = ℤ_{p}[[T_{1}, .., T_{s}]]). Pour n = (n_{i}) ∈ ℕ^{s}, notons p^{n} = p^{∑ n_{i}}, Γ_{n} le sous-groupe de Γ engendré (topologiquement) par {γ_{1}^{p^{n_{1}}} , .., γ_{2}^{p^{ns}} }, et F_{n} = L^{Γ_{n}}. Avec ces notations, on a donc (Γ : Γ_{n}) = p^{n}.

Démonstration. D’après la proposition 3.2, il faut montrer que

\frac{1}{p^{n}} (rg_{ℤ_{p}}(lim_{⟵}f_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F))_{Γ_{n}} − rg_{ℤ_{p}}(X^{(i)}(L))_{Γ_{n}})

est une quantité qui tend vers 0 lorsque les coordonnées de n tendent successivement vers l’infini.

On obtient, grâce à la suite spectrale de Hochshild-Serre, le diagramme suivant, dans lequel les lignes sont exactes et C_{n} et D_{n} sont définit tautologiquement. On note Δ_{n} = H_{S}^{1}(F_{n}, −i)^{div} = f_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F_{n})^{∨} et Δ_{L} = lim_{⟶}Δ_{n} =

(lim_{⟵}f_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F))^{∨}.

C_{n}  ↪  Δ_{n}  ⟶  Δ_{L}^{Γ_{n}}  ↠  D_{n}
↓  ↓  ↓  ↓
H^{1}(Γ_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}(−i)) ↪ H_{S}^{1}(F_{n}, −i) ⟶ H_{S}^{1}(L, −i)^{Γ_{n}} ⟶ H^{2}(Γ_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}(−i))

Une chasse rapide dans le diagramme montre que le ℤ_{p}-corang de chaque terme de la première ligne est inférieur à celui de son correspondant sur la seconde : les deux flèches verticales du milieu sont injectives, donc la première aussi ; de plus la deuxième est à conoyau fini. Le lemme du serpent permet de conclure. Pour q = 1, 2, les corangs de H^{q}(Γ_{n}, ℚ_{p}/ℤ_{p}(i)) sont bornés, donc négligeables devant p^{n}. Finalement, en appliquant s fois la proposition 3.2, on obtient

rg_{Λ}lim_{⟵}f_{ℤ_{p}}X^{(i)}(F_{n}) = rg_{Λ}X^{(i)}(L) = lim\frac{1}{p^{n}} corg_{ℤ_{p}}H^{1}(G_{S}(F_{n}), ℚ_{p}/ℤ_{p}(i))

cette dernière limite étant calculée en faisant tendre succesivement les coordonnées de n vers +∞. Cela termine la preuve de l’inclusion dans la proposition 3.1. □

Remarque 4. Si K^{c} ⊂ L, cette preuve donne une façon de retrouver le résultat rg_{Λ}X^{(i)}(L) = r_{2} (qui provient par ailleurs de la proposition 2.1). Si l’on note N_{L} le corps obtenu en adjoignant à L toutes les racines p^{nièmes} des (p)-unités de L, le cas i = −1 redonne rg_{Λ}G(N_{L}/L) = r_{2} (voir appendice où L = K̃).

L’égalité de la proposition 3.1 résulte du lemme plus précis suivant :

Lemme 3.4. Si H_{2}(G_{S}, ℤ_{p}(i)) = H_{2}(G_{S}(L), ℤ_{p}(i)) = 0, alors t_{Λ}X^{(i)}(L)_{Γ} est fini.

Démonstration. Rappelons la définition des idéaux de Fitting (consulter [7], chapter 3). Si M possède une présentation

Λ^{a} ⟶^{Φ} Λ^{b} ⟶ M ⟶ 0

on note E_{k}(M) l’idéal engendré par les déterminants de taille b − k extraits de la matrice de Φ (à ne pas confondre avec les Ext de [9], notés E^{k}). Il est bien connu que cet idéal ne dépend pas de la présentation choisie, mais uniquement de M (voir [7] et références). Notons maintenant Δ_{k}(M) un pgcd des éléments de E_{k}(M).

On conserve les notations d et r pour les nombres de générateurs et de relations de G_{S}. Le module Y^{(i)}(L) est présenté par la suite exacte suivante :

0 ⟶ Λ^{r} ⟶^{Φ} Λ^{d} ⟶ Y^{(i)}(L) ⟶ 0

Puisque H_{1}(Γ, f_{Λ}Y^{(i)}(L)) = H_{2}(G_{S}, ℤ_{p}(i)) = 0, Φ(0, .., 0) est injective et possède donc un déterminant de taille r non nul. On en déduit que Δ_{r}(Y^{(i)}(L))(0, .., 0) est non nul. Comme Y^{(i)}(L) est de dimension projective ≤ 1, Δ_{r}(Y^{(i)}(L))/Δ_{r+1}(Y^{(i)}(L)) engendre l’idéal annulateur de t_{Λ}Y^{(i)}(L) ([7] th 3.8). On en conclut que Δ_{r}(Y^{(i)}(L))(0, .., 0) est un annulateur non nul de t_{Λ}Y^{(i)}(L)_{Γ}, ce qui termine la preuve. □

Revenons-en à la proposition 3.1.

Démonstration. Comme t_{Λ}X^{(i)}(L)_{Γ} est de ℤ_{p}-torsion, c’est que l’image de δ^{(i)} est contenue dans t_{ℤ_{p}}X^{(i)}(K). On peut remplacer K par une extension finie F ⊂ L, puisque L/F est encore une ℤ_{p}^{s}-extension. Cela termine la preuve de 3.1, et par conséquent du théorème 3.1. □

Remarque 5. Pour i = −2, le lemme 3.4 possède une interprétation arithmétique intéressante. En effet, il signifie que K_{2}O′_{L}{p}^{Γ} est fini, ce qui permet, dans le cas général, de répondre partiellement à la question 6.1 de [11]. Dans le cas particulier où K_{2}O′_{K}{p} est cyclique, le lemme 2.1 montre que le conoyau de l’application de capitulation

K_{2}O′_{K}{p} → K_{2}O′_{L}{p}^{Γ}

est trivial.

4. Cas particuliers de la conjecture de Greenberg

Pour fixer les idées, on choisit i = −2. On rappelle que K contient μ_{p}. On sait alors que K_{2}O′_{K}{p} s’identifie naturellement à

H_{S}^{1}(F, 2)/H_{S}^{1}(F, 2)^{div} (cf [20]), et le résultat principal de cet article s’énonce ainsi :

Théorème 4.1. Si K_{2}O′_{K}{p} et cyclique et capitule dans K̃, alors K vérifie la conjecture (GG).

Démonstration. On prend L = K̃ et i = −2 dans le lemme 2.1 et le théorème 3.1. □

Remarque 6. K_{2}O′_{K}{p} est cyclique si et seulement si r(K) = 1, ce qui équivaut encore à la cyclicité de t_{ℤ_{p}}X (K) jointe à la validité de la conjecture de Leopoldt pour pour K. On retrouve bien le théorème 1.5 annoncé dans l’introduction.

Au vu du théorème 4.1, nous proposons l’affaiblissement suivant de la conjecture (GG) :

Conjecture 4.2. K_{2}O′_{K}{p} capitule dans K̃.

Pour une ℤ_{p}^{s}-extension L/F, on définit le module d’Iwasawa

X^{(2)}(L) = lim_{⟵}K_{2}O′_{E}{p}

E parcourant les sous-extensions finies de L/F. On note X^{(2)}(L)^{0} le sousmodule fini maximal de X^{(2)}(L). On souhaite établir un lien entre la nonnullité de certains X^{(2)}(L)^{0} et la conjecture 4.2. Commençons par deux lemmes.

Lemme 4.1. (Comparer avec [6] §3.3^{∘}) Soit L/F une ℤ_{p}-extension de groupe Γ. Alors K_{2}O′_{F} {p} = X^{(2)}(L)_{Γ} ; de plus, il y a une suite exacte naturelle

0 ⟶ X^{(2)}(L)_{Γ}^{0} ⟶ K_{2}O′_{F} {p} ⟶^{j_{L/F}} K_{2}O′_{L}{p}^{Γ} ⟶ 0

Démonstration. Notons F_{n} le n^{ième} étage de L/F, Γ_{n} = G(L/F_{n}), et γ un générateur de Γ. La première assertion provient du fait bien connu suivant : K_{2}O′_{F} {p} = K_{2}O′_{F_{n}}{p}_{Γ/Γ_{n}}. De même, K_{2}O′_{F_{n}}{p} = X^{(2)}(L)_{Γ_{n}} ; il s’agit donc de montrer l’exactitude de la suite suivante :

0 ⟶ X^{(2)}(L)_{Γ}^{0} ⟶ X^{(2)}(L)_{Γ} ⟶ (lim_{⟶}X^{(2)}(L)_{Γ_{n}})^{Γ} ⟶ 0 (4.1)

la limite inductive étant prise via la multiplication par ν_{m,n} = \frac{γ^{p^{m}}−1}{γ^{p^{n}}−1},

m > n. Notons \overline{X^{(2)}(L)} = X^{(2)}(L)/X^{(2)}(L)^{0}. \overline{X^{(2)}(L)} ne possède pas de sous-module fini non nul. Comme de plus le noyau modéré est fini, on a \overline{X^{(2)}(L)}^{Γ} = 0, et le lemme du serpent donne une suite exacte

0 ⟶ X^{(2)}(L)_{Γ_{n}}^{0} ⟶ X^{(2)}(L)_{Γ_{n}} ⟶ \overline{X^{(2)}(L)}_{Γ_{n}} ⟶ 0

qui montre l’injectivité à gauche dans (4.1). La surjectivité à droite est bien connue aussi, elle résulte par exemple de l’injectivité de δ^{(−2)} lorsque s = 1 (cf. proposition 1.3) ; on pourrait aussi invoquer [11] théorème 6.1. Passons à l’exactitude au terme X^{(2)}(L)_{Γ}. Comme X^{(2)}(L)^{0} est fini, il est tué par ν_{m,n} pour m >> n. Avec n = 0, on obtient donc X^{(2)}(L)_{Γ}^{0} ⊂ Ker j_{L/F}. D’autre part, en faisant passer la suite exacte ci-dessus à la limite inductive suivant ν_{m,n}, on obtient lim_{⟶}X^{(2)}(L)_{Γ_{n}} = lim_{⟶}\overline{X^{(2)}(L)}_{Γ_{n}}. Reste donc à montrer que

\overline{X^{(2)}(L)}_{Γ} → lim_{⟶}\overline{X^{(2)}(L)}_{Γ_{n}} est injective. Posons ω_{n} = γ^{p^{n}} − 1, de sorte

que ω_{m} = ω_{n}ν_{m,n}. Soit x ∈ \overline{X^{(2)}(L)}. Si ν_{m,0}x ∈ ω_{m}\overline{X^{(2)}(L)}, disons ν_{m,0}x =

ω_{m}y, alors ω_{m}(x−(γ −1)y). Puisque \overline{X^{(2)}(L)}^{Γ_{m}} = 0, c’est que x = (γ −1)y. Son image dans \overline{X^{(2)}(L)}_{Γ} est donc nulle, et cela termine la preuve. □

Lemme 4.2. Soient E/F/K trois p-extensions galoisiennes S-ramifiées. Si l’extension K_{2}O′_{K}{p} → K_{2}O′_{E}{p} est injective, alors K_{2}O′_{F} {p} → K_{2}O′_{E}{p} l’est aussi.

Démonstration. Puisque F/K est résoluble, on se ramène au cas où F/K est cyclique.

Montrons donc le lemme dans ce cas. Notons G = G(F/K) et H = G(E/F). La suite exacte (cf [11] th. 5.1)

H^{1}(G, K_{3}F) ↪ K_{2}O′_{K}{p} ⟶ K_{2}O′_{F} {p}^{G} ↠ H^{2}(G, K_{3}F)

et les isomorphismes Ĥ^{q}(G, K_{2}O′_{F}) ≃ H^{q+2}(G, K_{3}F) pour q ≥ 1 (loc. cit.), donnent la suite exacte

H^{1}(G, K_{2}O′_{F}) ↪ K_{2}O′_{K}{p} ⟶ K_{2}O′_{F} {p}^{G} ↠ H^{2}(G, K_{2}O′_{F})

puisque le groupe G est cyclique. On a donc, par hypothèse, H^{1}(G, K_{2}O′_{F}) = 0. Puisque K_{2}O′_{F} est fini, son quotient de Herbrand est trivial et l’on en déduit que K_{2}O′_{F} est G-cohomologiquement trivial, donc K_{3}F aussi. Comme K_{3}F = K_{3}E^{H} (cf [11] §1.1), la suite spectrale de Hochschild-Serre montre que H^{1}(H, K_{3}E)^{G} = 0. La première suite exacte ci-dessus permet de conclure. □

Considérons le “cas simple” où K_{2}O′_{K}{p} est d’ordre p. S’il existe une ℤ_{p}-extension L/K telle que X^{(2)}(L)^{0} soit non nul, le lemme 4.2 montre que K_{2}O′_{K}{p} capitule dans L et la conjecture 4.2 est vérifiée. En fait on peut énoncer la proposition suivante :

Proposition 4.1. Si K_{2}O′_{K}{p} est cyclique d’ordre p et s’il existe une sousextension finie F/K de K̃/K et une ℤ_{p}-extension L/F telle que L ⊂ K̃ et X^{(2)}(L)^{0} ≠ 0, alors les conjectures 4.2 et (GG) sont vérifiées pour K.

Démonstration. : Comme X^{(2)}(L)^{0} ≠ 0, c’est que l’homomorphisme d’extension K_{2}O′_{F} {p} → K_{2}O′_{L}{p} n’est pas injectif. Le lemme 4.2 montre que l’extension K_{2}O′_{K}{p} → K_{2}O′_{L}{p} ne l’est pas non plus. Comme L ⊂ K̃, K_{2}O′_{K}{p} capitule dans K̃. □

On peut douter de l’utilité pratique de la proposition 4.1, puisqu’il est très difficile de contrôler le module X^{(2)}(L)^{0}.

Question : L’existence d’une telle ℤ_{p}-extension L/F à l’intérieur de K̃/K est-elle équivalente à la validité de la conjecture 4.2 ? ^{1}

Remarque 7. Lorsque F = K et L = K^{c}, si K_{2}O′_{K}{p} est cyclique d’ordre divisant p, l’hypothèse X^{(2)}(K^{c})^{0} ≠ 0 entraîne la nullité de K_{2}O′_{K^{c}}{p}. Par exemple, pour K = ℚ(μ_{p}), cela signifie que p est régulier, ce qui n’est pas très intéressant pour notre propos.

La vraie difficulté consiste donc à faire capituler K_{2}O′_{K}{p} ailleurs que dans la ℤ_{p}-extension cyclotomique de K. Dans l’état actuel de nos connaissances, nous devons nous limiter à des cas particuliers.

Soit k un corps de nombres quelconque et K = k(μ_{p}). On note Δ = G(K/k). Dans cette situation on peut énoncer une condition suffisante pour que K vérifie 4.2 :

Proposition 4.2. Soit K = k(μ_{p}) ; on suppose que K_{2}O′_{K}{p} est cyclique d’ordre p. Soit F/K une sous-extension de K̃/K, cyclique de degré p, de groupe G, et galoisienne sur k. Soit χ : Δ → ℤ/p^{×} le caractère donnant l’action de Δ sur G. Fixons une section Δ → G(F/k), via laquelle on identifie Δ à un sous-groupe de G(F/k), et notons M = F^{Δ}. Supposons que χ engendre Hom(Δ, ℤ/p^{×}) et que K_{2}O′_{M}{p} = 0 ; alors K_{2}O′_{K}{p} capitule dans F, si bien que K vérifie la conjecture 4.2.

Démonstration. Les auteurs tiennent à remercier R.Greenberg de leur avoir permis de reproduire ici la preuve de cette proposition. Notons I_{G} l’idéal d’augmentation de ℤ_{p}[G]. Les puissances de I_{G} induisent sur K_{2}O′_{F} {p} une filtration

K_{2}O′_{F} {p} = F^{0}K_{2}O′_{F} {p} ⊃ F^{1}K_{2}O′_{F} {p} = I_{G}K_{2}O′_{F} {p} ⊃ …

Notons G^{q}K_{2}O′_{F} {p} = F^{q}K_{2}O′_{F} {p}/F^{q+1}K_{2}O′_{F} {p} les quotients successifs. Comme G est cyclique, disons engendré par σ, la multiplication par σ − 1 induit un homomorphisme surjectif et Δ-équivariant G^{q}K_{2}O′_{F} {p}(χ) → G^{q+1}K_{2}O′_{F} {p}. En effet, si δ ∈ Δ et x ∈ K_{2}O′_{F} {p}, on a (σ − 1)χ(δ)δx = χ(δ)δ(σ^{χ(δ^{−1})} − 1)x. Comme σ^{χ(δ^{−1})} − 1 − (χ(δ^{−1})σ − 1) ∈ I_{G}^{2}, l’homomorphisme est bien Δ-équivariant.

1Ajouté pendant les épreuves : On peut montrer l’équivalence entre la conjecture (GG) et l’existence d’une ℤ_{p}-extension L/K vérifiant X^{(2)}(L)^{0} = X^{(2)}(L), voir [21].

Comme la norme réalise un isomorphisme K_{2}O′_{F} {p}_{G} → K_{2}O′_{K}{p}, ces deux Δ-modules sont isomorphes à ℤ/p(χ^{t}) pour un certain 0 < t < #Δ : en effet, t ≠ 0 car K_{2}O′_{M}{p} = 0. Mais K_{2}O′_{K}{p} est d’exposant p, son image par l’extension dans G^{0}K_{2}O′_{F} {p} = K_{2}O′_{F} {p}_{G} est donc triviale, c’est-à-dire que j_{F/K}K_{2}O′_{K}{p} ⊂ F^{1}K_{2}O′_{F} {p}. Comme pour q < #Δ, G^{q}K_{2}O′_{F} {p} et K_{2}O′_{K}{p} ne sont pas isomorphes (abstraitement) comme Δ-modules, une récurrence immédiate montre qu’en fait j_{F/K}K_{2}O′_{K}{p} ⊂ F^{#Δ}K_{2}O′_{F} {p}. Maintenant, soit q = −tmod#Δ, 0 < q < #Δ ; l’hypothèse K_{2}O′_{M}{p} = 0 implique G^{q}K_{2}O′_{F} {p} = 0. Par décroissance des quotients successifs, on en déduit que F^{q+1}K_{2}O′_{F} {p} = 0, et donc j_{F/K}K_{2}O′_{K}{p} = 0. □

Appliquons ce critère pour k = ℚ. Soit donc K = ℚ(μ_{p}) et p tel que K_{2}O′_{K}{p} soit d’ordre p. Comme s_{p}(K) = 1, noyau sauvage et noyau modéré coïncident. Nous disposons, pour trouver de tels p, du théorème suivant, dû à Jaulent-Soriano :

Théorème 4.3. ([10], th. 7 (ii)) Si K contient μ_{p^{k}} où p^{k} est l’exposant de X(K^{c})_{Γ}, et si l’extension W K2^{ét}(K) → W K2^{ét}(K(μ_{p^{k+1}})) est injective, alors W K2^{ét}(K) est aussi d’exposant p^{k}.

Ainsi #A(K) = p ⇒ #W K2^{ét}(K) = p, puisque dans cette situation la conjecture de Vandiver est valide, et donc X^{(2)}(K^{c})^{0} = 0, ce qui implique automatiquement l’hypothèse d’injectivité grâce au lemme 4.1.

Par exemple, p = 37 convient. Ensuite, il est naturel de choisir M = ℚ(^{p}\sqrt{p}), et F = KM. Ainsi la dernière condition à vérifier est la nullité de K_{2}O′_{M}{p}. Malheureusement, dans l’état actuel de nos connaissances, cette dernière condition est impossible à vérifier pour tout p. Néanmoins, pour p = 37, le problème a été résolu indépendamment par McCallum et Sharifi : ils ont montré que A(F) est cyclique d’ordre 37, d’où l’on déduit que K_{2}O′_{F} {p} est cyclique. S’il était fixé par Δ, K_{2}O′_{K}{p} le serait aussi, ce qui est faux. La dernière condition de la proposition 4.2 est donc remplie, ce qui montre que K = ℚ(μ_{37}) vérifie la conjecture 4.2, et par conséquent la conjecture (GG) (cf 1.5).

En fait les deux derniers auteurs ont émis une conjecture, appelons-la (MCS), concernant un certain cup-produit en cohomologie galoisienne(cf [16] Conjecture 5.3) : lorsque #A(K) = p, (MCS) équivaut à l’existence à l’intérieur de K̃ d’une extension F/K possédant une seule (p)-place et telle que #A(F) = p (loc. cit. Corollary 6.4). On voit facilement que dans ces conditions, A(K) capitule dans F.

Nous pouvons alors passer du corps de classes à la K-théorie par la proposition suivante :

Proposition 4.3. Soit K = ℚ(μ_{p}) ; on suppose la conjecture de Vandiver vérifiée. Si A(K) est tué par p et s’il capitule dans une extension F/K telle que F ⊂ K̃ et s_{p}(F^{c}) = 1, alors K vérifie la conjecture 4.2.

Preuve : Comme s_{p}(F) = 1, les groupes de Brauer H_{S}^{2}(K, 1) et H_{S}^{2}(F, 1) sont nuls, et l’on peut appliquer la proposition 3.1 aux extensions cyclotomiques de K et F, avec i = −1. Cela donne t_{Λ^{c}}X^{(−1)}(K^{c})^{∨} = A(K^{c}) et t_{Λ^{c}}X^{(−1)}(F^{c})^{∨} = A(F^{c}). Comme par ailleurs, la même proposition pour i = −2 donne t_{Λ^{c}}X^{(−2)}(K^{c})^{∨} = K_{2}O′_{K^{c}}{p} et t_{Λ^{c}}X^{(−2)}(F^{c})^{∨} = K_{2}O′_{F^{c}}{p}, on retrouve les isomorphismes fonctoriels bien connus (cf [2] theorem 5) : K_{2}O′_{K^{c}}{p} = A(K^{c})(1) et K_{2}O′_{F^{c}}{p} = A(F^{c})(1). Montrons maintenant que K_{2}O′_{K^{c}}{p}^{Γ^{c}} capitule dans F^{c} par lhomomorphisme d’extension K_{2}O′_{K^{c}}{p}^{Γ^{c}} → K_{2}O′_{F^{c}}{p}^{Γ^{c}}, ce qui suffira pour conclure que K_{2}O′_{K}{p} capitule dans F^{c}, donc dans K̃. Puisque s_{p}(F^{c}) = 1, noyaux sauvages et noyaux modérés coïncident. La conjecture de Vandiver impliquant la nullité de X(K^{c})^{0}, le lemme 3.3 montre que l’hypothèse d’injectivité dans le théorème 4.3 ci-dessus est satisfaite. On en conclut donc que K_{2}O′_{K}{p} est d’exposant p. Maintenant comme l’application de capitulation K_{2}O′_{K}{p} → K_{2}O′_{K^{c}}{p}^{Γ} est surjective (cf par exemple 4.1 ou [11], th 6.1), on en déduit que A(K^{c})(1)^{Γ^{c}} = K_{2}O′_{K^{c}}{p}^{Γ} est d’exposant p. Mais alors A(K^{c})(1)^{Γ^{c}} ⊂ A(K^{c})^{Γ^{c}}(1).

Enfin, comme s_{p}(K^{c}) = 1, l’application de capitulation A(K) → A(K^{c})^{Γ^{c}} est surjective aussi ([12] corollary 1.6). Comme par hypothèse A(K) capitule dans F, donc dans F^{c}, on en déduit que l’image de l’extension A(K^{c})^{Γ^{c}} → A(F^{c})^{Γ^{c}} est nulle. L’extension “tordue” A(K^{c})(1) → A(F^{c})(1) annule donc A(K^{c})(1)^{Γ^{c}} ⊂ A(K^{c})^{Γ^{c}}(1), ce qui termine la preuve.

□

Remarque 8. On peut aussi voir directement que, pour r = 1, la conjecture de McCallum et Sharifi entraîne (GG) (cf [16], Corollary 10.5). En résumé, lorsque A(F) est cyclique d’ordre p, on a les implications (MCS) ⇒ (3.2) ⇒ (GG).

Passons maintenant à un résultat de “montée” concernant (GG).

Théorème 4.4. Soit K ⊂ F ⊂ K̃. Si K vérifie (GG), alors F aussi.

Démonstration. Pour une extension de corps, disons E/F, on note Λ_{E/F} = ℤ_{p}[[G(E/F)]] (par exemple Λ̃ = Λ_{K̃/K} et Λ = Λ_{L/K}). Comme Λ̃ est entier sur Λ_{K̃/F}, on a t_{Λ_{K̃/F}} X^{(−2)}(K̃) = tΛ̃X^{(−2)}(K̃) = 0. On utilise ensuite plusieurs fois le lemme suivant, qui est une conséquence immédiate de la proposition 3.1 :

Lemme 4.3. Soit L/K (resp. E/K) une ℤ_{p}^{s}-extension (resp. une ℤ_{p}^{s+1} -extension contenant L), et G = G(E/L) = ℤ_{p}. On a alors une injection

(t_{Λ_{E/K}}Y^{(−2)}(E))_{G} ↪ t_{Λ}Y^{(−2)}(L)
□

Enfin, dans le même esprit signalons le critère général suivant :

Théorème 4.5. Si K_{2}O′_{K}{p} capitule dans une ℤ_{p}-extension L/K, alors K vérifie la conjecture (GG).

Démonstration. C’est une conséquence immédiate du lemme ci-dessus. □

5. Appendice

Bien qu’il semble que la proposition 1.1 ne soit pas utilisable sous cette forme, nous en donnons ici la preuve. Notons Ñ = K̃(E_{S}(K̃)^{\frac{1}{p^{∞}}})

Proposition 5.1. Si K contient μ_{p} et possède une seule place au-dessus de p, si r = 1 et si G(Ñ/K̃) est sans Λ̃-torsion, alors (GG) est vraie pour K dès que A(K) capitule dans K̃.

Démonstration. Le lemme 2.1 montre que δ^{(−1)} est injective. Montrons que son image est nulle. La suite exacte de Poitou-Tate (voir [18])

\begin{aligned}0 & ⟶ & H_{S}^{0}(F, 0) & ⟶ & ⨁_{v∈S_{p}(K)}ind_{G(F/K)_{v}}^{G(F/K)}H^{0}(F_{v}, 0) \\ & ⟶ & H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(1))^{∨} & ⟶ & Ker_{S}^{1}(F, ℚ_{p}/ℤ_{p}) & ⟶ & 0 \end{aligned}

montre que t_{ℤ_{p}}X^{(−1)}(F) = (H_{S}^{1}(F, 1)/H_{S}^{1}(F, 1)^{div})^{∨} = H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(1))^{∨} = A(F)^{∨}, puisque l’image de la troisième flèche doit être finie et divisible, donc nulle. L’hypothèse tΛ̃G(Ñ/K̃) = 0 signifie que tΛ̃X^{(−1)}(K̃) = lim_{⟵}t_{ℤ_{p}}X^{(−1)}(F),

et donc que la flèche duale de δ^{(−1)} est l’application de capitulation

A(K) → A(K̃)Γ̃

Cela termine donc la preuve de 5.1. □

5.1. Les différentes formulations de (G) et (GG).

L’erreur, dans [15], consistait à confondre sans raison valable un certain isomorphisme algébrique ([15] Proposition 5), avec un homomorphisme d’origine arithmétique (le dual de l’homomorphisme naturel de [15] Theorem 8). Il ne semble pas qu’elle puisse être réparée avec les seules méthodes de [15]. Le même type d’erreur entache la démonstration du théorème 4.4 de [13] qui donne les équivalences entre différentes formulations de (GG) : avec les notations de [13] c’est l’implication (G1) ⇒ (G5) qui est en cause ; l’isomorphisme annoncé entre la Λ^{c}-torsion de G(N^{c}/K^{c}) et un certain module induit provient de la description algébrique par Iwasawa [8] de ce dernier module, mais cette description n’a aucune raison d’être fonctorielle en K. Ici, heureusement, la réparation est possible (voir théorème 5.1 cidessous). Ces deux erreurs proviennent de la difficulté à décrire le quotient t_{Λ^{c}}G(N^{c}/K^{c})(−1) = t_{Λ^{c}}Y^{(−1)}(K^{c})/lim_{⟵}t_{ℤ_{p}}Y^{(−1)}(K_{n}). Le lecteur est invité à consulter [12] afin de s’en convaincre.

Théorème 5.1. Soit K ⊃ μ_{p} et L/K une ℤ_{p}^{s}-extension contenant K^{c} et dont le groupe de décomposition Γ_{v} soit de ℤ_{p}-rang ≥ 2 pour toute place v au-dessus de (p) (par ex. L = K̃). Si tous les corps intermédiaires vérifient la conjecture de Gross, alors les énoncés suivants sont équivalents. (G1) A(K̃) = 0 (G2) X(K̃) ∼ 0 (G3^{(i)}) tΛ̃X^{(i)}(K̃) = 0

S’ils sont vérifiés pour L, ils le sont automatiquement pour K̃. On dit alors que K vérifie la conjecture de Greenberg généralisée (GG).

Dans [13], les implications (G3^{(0)}) ⇔ (G2) ⇒ (G1) sont démontrées, sous l’hypothèse supplémentaire que tous les corps F entre K et K̃ vérifient la conjecture de Leopoldt. En fait, il suffit de remplacer i = 0 par i = −2 pour obtenir une preuve qui est indépendante de la conjecture de Leopoldt. On peut aussi consulter [15], [14] ou [9].

Le point délicat réside dans l’implication (G1) ⇒ (G3^{(i)}). Puisque G3^{(i)} est visiblement indépendante de i, nous montrons (G1) ⇒ (G3^{(−1)}).

Démonstration. On choisit F_{k}^{n} tels que F_{k}^{n} = F_{k}^{0}(μ_{p^{n}}) et L = ∪F_{k}^{n}. On note également F_{k} = F_{k}^{0}, donc L = ∪F_{k}^{c}. La proposition 3.1 montre que t_{Λ}X^{(−2)}(L) = lim_{⟵}t_{Λ^{c}}X^{(−2)}(F_{k}^{c}). Comme tous les modules considérés se situent au dessus de K^{c}, on peut remplacer i = −2 par i = −1 dans cette égalité (cela ne change pas les groupes, mais simplement l’action de Γ^{c}). Par ailleurs, pour i = −1, l’inclusion de la proposition 3.1 fournit une suite exacte tautologique qui définit un module Z_{k} :

lim_{⟵}t_{ℤ_{p}}X^{(−1)}(F_{k}^{n}) ↪ t_{Λ^{c}}X^{(−1)}(F_{k}^{c}) ↠ Z_{k}

Puisque t_{ℤ_{p}}X^{(−1)}(F_{k}^{n}) = A(F_{k}^{n})^{∨} (voir la preuve de 5.1), on obtient, après passage à la limite sur k, la description suivante de t_{Λ}X^{(−1)}(L)

A(L)^{∨} ↪ t_{Λ}X^{(−1)}(L) ↠ lim_{⟵}Z_{k}

Il s’agit donc de montrer que lim_{⟵}Z_{k} ∼ 0.

L’étude du module Z_{k} est faite en détail dans [12] (Z_{k} y est noté tor_{Λ}Z′_{∞} par les auteurs).

Proposition 5.2. ([12] th.4.2) Soit Φ(F_{k}^{n}) le conoyau de l’application de capitulation A(F_{k}^{n}) → A(F_{k}^{c})^{Γ_{n}^{c}} et Φ(F_{k}^{c}) = lim_{⟵}Φ(F_{k}^{n}). On a une suite exacte

( ⨁_{v∈S_{p}(K)} Ind_{G(F_{k}^{c}/K)_{v}}^{G(F_{k}^{c}/K)}ℤ_{p})/ℤ_{p} ↪ Z_{k} ↠ Φ(F_{k}^{c})^{∨}

Si de plus F_{k}^{n} vérifie la conjecture de Gross pour n suffisamment grand, alors Φ(F_{k}^{c}) s’identifie naturellement à Ψ(F_{k}^{c}) = lim_{⟶}Ψ(F_{k}^{n}), où Ψ(F_{k}^{n}) est le noyau de l’application de descente X(F_{k}^{c})_{Γ_{n}^{c}} → A(F_{k}^{n}).

Il est facile de voir que le terme induit disparaît lorsque l’on fait passer cette suite exacte à la limite projective sur k. Il s’agit donc de montrer que lim_{⟵}(Φ(F_{k}^{c})^{∨}) est un Λ-module pseudo-nul. Comme on suppose vraie la

conjecture de Gross, on peut travailler sur le module Ψ(F_{k}^{c})^{∨}. Nous disposons de la suite exacte de Sinnott (voir appendice de [3]) :

 ; ⨁_{v∈S_{p}(K)}Ind_{G(F_{k}^{n}/K)_{v}}^{G(F_{k}^{n}/K)}ℤ_{p} ⟶ X(F_{k}^{c})_{Γ_{n}^{c}} ⟶ A(F_{k}^{n})

d’où une surjection

 ; ⨁_{v∈S_{p}(K)}Ind_{G(F_{k}^{n}/K)_{v}}^{G(F_{k}^{n}/K)}ℤ_{p} ↠ Ψ(F_{k}^{n})

Ici, le signe désigne le noyau de la forme linéaire “somme”. Comme L/K vérifie l’hypothèse de décomposition, pour chaque place v ∈ S_{p}(K), il existe γ_{v} ∈ Γ_{v} tel que κ(γ_{v}) = 1 (κ est le caractère cyclotomique). Comme les v ∈ S_{p}(K) sont en nombre fini, il existe un indice j tel que, pour toute place v ∈ S_{p}(K), γ^{ℤ_{p}} ∩ Γ^{p^{j}} soit un facteur direct de Γ^{p^{j}}. Notons γ′_{v} un générateur

de γ^{ℤ_{p}}∩Γ^{p^{j}} et Λ′ = ℤ_{p}[[Γ^{p^{j}}]], alors ∏(γ′_{v} −1) annule ; ⨁_{v∈S_{p}(K)}Ind_{G(F_{k}^{n}/K)_{v}}^{G(F_{k}^{n}/K)}ℤ_{p},

donc Ψ(F_{k}^{n}), ceci pour n et k quelconques. Comme lim_{⟵}Z_{k} = (lim_{⟶}Φ(F_{k}^{c}))^{∨},

c’est que ∏(γ_{v}^{′−1} − 1) annule lim_{⟵}Z_{k}. Dans la preuve du lemme 2.9, on a

montré l’existence d’un f ∈ Λ′ annulant t_{Λ}X^{(−2)}(L) et dont l’image dans ℤ_{p} par l’augmentation est non nulle. On en déduit l’existence d’un g ∈ Λ′ annulant t_{Λ}X^{(−1)}(L) (donc lim_{⟵}Z_{k}) et dont l’image dans Λ^{c}′ = ℤ_{p}[[Γ^{c}^{p^{j}}]] par

l’augmentation est non nulle. Puisque les γ_{v}^{′−1} − 1 sont irréductibles dans Λ′ et que leur augmentation est nulle dans Λ^{c}′, c’est que g et ∏ γ_{v}^{′−1} − 1 sont sans facteur commun. On en conclut que lim_{⟵}Z_{k} est pseudo-nul comme

Λ′-module, et donc par [1] VII §4.8 prop. 18, comme Λ-module. Finalement, on a montré que lim_{⟵}Z_{k} ∼ 0, c’est-à-dire que A(L)^{∨} ∼ t_{Λ}X^{(−1)}(L), ce qui

achève la preuve de (G1) ⇒ (G3^{(−1)}). □

Remarque 9. Si, au lieu de supposer la conjecture de Gross à tous les étages, on suppose que s_{p}(L) < ∞, l’isomorphisme algébrique de [15] Proposition 5 permet de montrer la dernière implication (G1) ⇒ (G3^{(−1)}).

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Thong Nguyen Quang Do Université de Fanche-Comté 16, route de Gray 25030 Besançon Cedex, France

E-mail : thong.nguyen-quang-do@math.univ-fcomte.fr

20 Thong Nguyen Quang Do, David Vauclair

David Vauclair Université de Fanche-Comté 16, route de Gray 25030 Besançon Cedex, France

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