Noyaux de Tate et capitulation

David Vauclair

Résumé

Following Kahn, and Assim & Movahhedi, we look for bounds for the order of the capitulation kernels of higher K-groups of S-integers into abelian S-ramified p-extensions. The basic strategy is to change twists inside some Galois-cohomology groups, which is done via the comparison of Tate Kernels of higher order. We investigate two ways : a global one, valid for twists close to 0 (in a certain sense), and a local one, valid for twists close to 1 in cyclic extensions. The global method produces lower bounds for abelian p-extensions which are Sramified, but not ℤ_{p}-embeddable. The local method is close to that of [1], but is improved to take into consideration what happens when S consists of only the p-places. In contrast to the first one, one can expect this second method to produce non trivial lower bounds in certain ℤ_{p}-extensions. For example, we construct ℤ_{p}-extensions in which the capitulation kernel is as big as we want (when letting the twist vary). We also include a complete solution to the problem of comparing Tate Kernels.

Mathematics Subject Classification 2000 : 11R23, 11R34, 11R70 Key words : capitulation, Tate Kernels, cup product, K-theory of number fields.

Introduction

Soit F un corps de nombres, et notons Cl_{F} son groupe de classes d’idéaux. Pour toute extension galoisienne E/F, l’extension des idéaux induit une application dite de “capitulation” Cl_{F} → (Cl_{E})^{G}, où G désigne le groupe Galois de E/F. L’étude des noyaux et conoyaux de l’application de capitulation est un sujet classique en théorie des nombres. Citons seulement le théorème de l’idéal principal et la formule des genres dans une extension cyclique (voir aussi [5] pour une étude dans le cadre de la théorie d’Iwasawa). Puisque les K-groupes pairs constituent des analogues supérieurs du groupe de classes, il est naturel de s’intéresser aussi à l’application de capitulation suivante : K_{2i−2}O_{F} → (K_{2i−2}O_{E})^{G} pour i ≥ 1. Comme K_{0}O_{F} = Cl_{F} ⊕ ℤ (ici i = 1), il s’agit d’une généralisation de l’étude précédente. Si l’on adopte le point de vue p-adique, la conjecture de Quillen-Lichtenbaum nous ramène à l’étude de l’application de capitulation suivante : res^{(i)}(E/F) : H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i))^{G} (cohomologiquement c’est la restriction). Ici S = S_{p} ∪ S_{∞} est l’ensemble des places p-adiques et archimédiennes de F, et H_{S}^{q}(F, −) désigne la cohomologie continue du groupe de Galois G_{S,F} de l’extension S-ramifiée maximale F_{S}/F.

Dans cet article, on s’intéresse au noyau de capitulation cap^{(i)}(E/F) := Ker (H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i))^{G}) (avec les notations évidentes) dans le contexte suivant : S ⊃ S_{p} ∪ S_{∞} est un ensemble fini de places de F, E/F est une p-extension S-ramifiée abélienne finie, et i est un entier relatif quelconque (en fait, la méthode s’étendrait sans difficulté en remplaçant ℤ_{p}(i) par une ℤ_{p}-représentation continue...). Par analogie avec le cas classique (i = 1), il est naturel chercher une extension canonique E/F, dans laquelle H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) capitule. Si i est suffisamment “proche” de 0 (au sens où i ≡ 0 mod[F (μ_{p^{n}}) : F] avec n suffisamment grand) et si H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) est d’exposant p^{k}, alors la p^{k}-extension S-ramifiée abélienne élémentaire E de F convient. Néanmoins il ne semble pas raisonnable de considérer ce résultat élémentaire comme un analogue supérieur du théorème de l’idéal principal ; ne serait-ce qu’à cause de la taille de l’extension ainsi obtenue : elle est bien plus grosse que le corps de Hilbert. Cependant, on ne peut espérer de résultat général en imposant des conditions supplémentaires concernant la ramification aux places de S (cf [13] pour une discussion à ce sujet, et [14] pour des détails). On choisit donc une approche alternative, et l’on s’intéresse à la question suivante, posée par B. Kahn (cf [6]) :

(Q) Pour E/F fixée, peut-on minorer l’ordre de cap^{(i)}(E/F) ? Cette question a été étudiée par [1] dans le cas où E/F est une extension cyclique de degré p. Malheureusement, les bornes obtenues par les auteurs précités sont triviales lorsque S = S_{p} ∪ S_{∞}, et c’est l’une des motivations du présent travail que d’y remédier. Comme dans [1], la stratégie de base est celle du “changement de twist”, pour se ramener aux twists classiques i = 1 ou i = 0, où les groupes de cohomologie possèdent une interprétation concrète, ce qui permet d’obtenir des bornes explicites lorsque i est suffisamment proche de 0 ou de 1. Le changement de twist est rendu possible grâce à la comparaison de certains noyaux de Tate modulo p^{k}, à laquelle est consacrée la première partie de l’article (section 2). Ce type de comparaison, dont l’idée remonte à [3], est déjà présent dans [1] ou [4] (voir aussi [15]). Néanmoins le traitement présenté ici est à la fois plus direct et plus précis (il ne nécessite pas la présence de “suffisamment” de racines de l’unité). En utilisant systématiquement certains cup produits, on donne notamment une expression précise de la différence entre les noyaux de Tate aux différents twists.

Concernant la question (Q), on obtient deux types de bornes. La première est de nature globale. Elle est valable lorsque i est suffisamment proche de 0 et concerne le cas où E/F est une p-extension abélienne. On obtient essentiellement o(cap^{(i)}(E/F)) ≥ [E : E ∩ F̃], où F̃/F désigne la composée de toutes les ℤ_{p}-extensions de F. La seconde borne obtenue est de nature locale. Elle est valable lorsque i est suffisamment proche de 1, et concerne le cas où E/F est cyclique de degré p^{k}. Notant Û′_{F} les p-unités complétées de F qui sont localement des normes universelles dans la ℤ_{p}-extension cyclotomique, on minore essentiellement l’ordre de cap^{(i)}(E/F) par celui de l’image de Û′_{F} dans ⊕_{v∈S}G(E_{v}/F_{v}) par la somme directe des applications de réciprocité locales. Cette seconde minoration, bien que peu explicite, permet d’obtenir une borne non triviale pour cap^{(i)}(E/F) dans le cas où E/F est ℤ_{p}-plongeable et vérifie certaines hypothèses. Ce dernier cas - inaccessible pour la minoration globale - est de loin le plus difficile et le plus intéressant, à cause de son lien avec la conjecture de Greenberg généralisée ([13], [14]). Les résultats présentés dans cet article contiennent ceux de [1] (où S ⊋ S_{p} ∪ S_{∞}), mais sont valables aussi dans le cas crucial où S = S_{p} ∪S_{∞}. On notera aussi que la méthode locale est spécifique aux twists i ≠ 1, et ne produit rien concernant la capitulation du groupe de classes (pour lequel l’analogue de la question (Q) reste un mystère en général...).

1 Préliminaires

Dans ce paragraphe, on introduit quelques notations générales, et on rappelle sans preuve quelques résultats utiles pour la suite.

Soit F un corps de nombres, p un nombre premier impair, et S ⊃ S_{p} ∪ S_{∞} un ensemble fini de places de F, contenant les p-places et les places archimédiennes. On note G_{F} (resp. G_{S,F}) le groupe de Galois d’une clôture algébrique fixée \overline{F} /F (resp. de l’extension S-ramifiée maximale F_{S}/F) ; E/F désignera toujours une p-extension S-ramifiée, galoisienne de groupe G. Pour chaque place v de F, on note F_{v} (resp. k_{v}(F)) le complété de F (resp. le corps résiduel de F) en v. Désignons par H^{q}(F, −) (resp. H_{S}^{q}(F, −)) le q^{ième} groupe de cohomologie continue de G_{F} (resp. G_{S,F}). Rassemblons en une proposition quelques faits utiles.

Proposition 1.1

1. cd_{p}G_{F} = cd_{p}G_{S,F} ≤ 2 (cf [9]). En particulier, la corestriction donne

H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i))_{G} = H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i))

2. La cohomologie de G_{S,F} et celle de G_{F} sont reliées par une suite exacte de localisation (cf [11]), qui donne ici :

(i) Pour i ≠ 1, on a H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) = H^{1}(F, ℤ_{p}(i)), et il y a une suite exacte

H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) ↪ H^{2}(F, ℤ_{p}(i)) ↠ ⊕_{v∉S}H^{1}(k_{v}(F), ℤ_{p}(i − 1))

(ii) Pour i = 1, on a deux suites exactes

\begin{matrix}0 & ⟶ & H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(1)) & ⟶ & H^{1}(F, ℤ_{p}(1)) & ↠ & ⊕_{v∉S}ℤ_{p} \\ Cl_{F}^{S} ⊗ ℤ_{p} & ↪ & H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(1)) & ⟶ & H^{2}(F, ℤ_{p}(1)) & ↠ & ⊕_{v∉S}H^{1}(k_{v}(F), ℤ_{p}) \end{matrix}

Ici Cl_{F}^{S} désigne le groupe de classes de O_{S,F} (les S-entiers de F).

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Si F_{∞} = ∪F_{n} est une ℤ_{p}-extension de F, on définit H_{S}^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) := lim_{⟶}H_{S}^{q}(F_{n}, ℤ_{p}(i)) (resp. H_{Iw,S}^{q}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) := lim_{⟵}H_{S}^{q}(F_{n}, ℤ_{p}(i))) par limite inductive via la restriction (resp. limite projective via la corestriction).

Définition 1.2 On dit que i est bon (ou parfois F -bon) si H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) est fini. On dira ausi que i est mauvais s’il n’est pas bon.

Rappelons que 1 est bon si et seulement si p ne se décompose pas dans F. Par ailleurs il est conjecturé que tout i ≠ 1 est bon (cf [9]). Pour i = 0, c’est la conjecture de Leopoldt ; pour i ≥ 2, c’est une conséquence de la conjecture de Quillen-Lichtenbaum, et un théorème de Soulé. Par la théorie d’Iwasawa, i est bon si et seulement si H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} est fini.

Par fonctorialité, le cup produit passe à la limite et donne un accouplement :

H_{S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) ⊗ H_{Iw,S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}) →^{∪} H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))  (1)

Notant Γ := G(F_{∞}/F), on a cd_{p}Γ = 1 si bien qu’il y a un isomorphisme canonique H_{Iw,S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p})^{Γ} = Hom_{cont}(Γ, ℤ_{p}) (voir [13] pour plus de détails). Le choix d’un générateur de Γ détermine donc un élément α ∈ H_{Iw,S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p})^{Γ}, et le cup produit (1) avec l’élément α donne lieu, lorsque qu’on le compose avec la restriction H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)), à un homomorphisme

m_{α} : H_{S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) → H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))

Proposition 1.3 L’homomorphisme construit ci-dessus s’inscrit dans une suite exacte, valable pour toute ℤ_{p}-extension :

H_{Iw,S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))_{Γ} ⟶ H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ⟶^{m_{α}} H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} ⟶ 0

Preuve : si i ≠ 0, la preuve fait l’objet du premier paragraphe de [13]. Pour i = 0, on renvoie à l’appendice de [16].

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A partir d’ici et dans tout le reste de l’article, F_{∞}/F désigne exclusivement la ℤ_{p}-extension cyclotomique de F. Notons X′(F_{∞}) := lim_{⟵}Cl_{F_{n}}^{S_{p}} ⊗ ℤ_{p}. Après passage à la limite projective, la suite exacte de localisation devient

0 ⟶ X′(F_{∞}) ⟶ H_{Iw,S_{p}}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1)) ⟶ ℤ_{p}[S_{p}(F_{∞})] ⟶ ℤ_{p} ⟶ 0

Dans ce contexte, la conjecture de Gross prédit que X′(F_{∞})_{Γ} est fini (donc X′(F_{∞})_{Γ} aussi). Si l’on note Û′_{F} ⊂ \overline{U}′_{F} le sous-groupe du p-complété des punités formé par les normes universelles locales dans F_{∞}/F, il est bien connu que la conjecture de Gross équivaut à l’égalité rg_{ℤ_{p}} Û′_{F} = r_{1} + r_{2} (cf [2]) ; r_{1} (resp. r_{2}) désignant le nombre de places réelles (resp. complexes) de F.

2 Noyaux de Tate généralisés

Dans cette section, on étudie comment varient les groupes H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/p^{k} avec i. Plus loin, les résultats obtenus ici nous permettront d’effectuer le changement de twist nécessaire à l’obtention de bornes explicites pour la capitulation dans une extension fixée. Pour des raisons qui seront détaillées plus bas, on appelle H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/p^{k} le i^{ième} noyau de Tate modulo p^{k} et on le note V^{(i)}(F, p^{k}). Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on le notera simplement V^{(i)}. Lorsque i ≡ j mod [F (μ_{p^{k}}) : F], on peut voir V^{(i)}(F, p^{k}) et V^{(j)}(F, p^{k}) comme deux sous-groupes de H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(i)) = H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(j)). Il s’agit alors de comprendre la différence entre ces deux sous-groupes. Ce type de comparaison entre les différents noyaux de Tate a déjà fait l’objet de nombreuses études, et il peut donc être utile de justifier celle qu’on va entreprendre ici. Tout d’abord, les résultats présents dans la littérature concernent le cas particulier où k = 1 et F ⊃ μ_{p}, et ne sont donc pas suffisamment précis pour les besoins de la section suivante, où nous seront confrontés au cas k quelconque et μ_{p^{k}} ⊈ F. Ensuite, la méthode originale présentée ici est plus directe (contrairement à celle de [3], généralisée dans [15], on n’utilise que très peu la théorie d’Iwasawa), et donne une réponse définitive à la question suivante (d’un intérêt indépendant) :

Question 2.1 (cf [3], question de Coates) A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on V^{(i)} = V^{(j)} ?

A la différence de [15], l’étude faite ici est non asymptotique. En interprétant un certain cup produit par montée et descente dans la tour cyclotomique, à la manière de [13], on obtient une expression exacte de la différence entre V^{(i)} et V^{(j)} au niveau fini. Par exemple si i, j ≥ 2 (où plus généralement si i et j sont bons, au sens de 1.2), on réalise V^{(i)}/V^{(j)} ∩ V^{(i)} comme un certain sous-groupe de cap^{(j)}(F_{∞}/F). Naturellement, le cas i = 1 (et plus généralement celui des mauvais i) demande une attention particulière, et l’on doit y définir un noyau de Tate modifié V̂^{(1)} qui coïncide avec Û′_{F} /p^{k} si et seulement si la conjecture de Gross est vérifiée. Si c’est le cas, la différence V^{(i)}/V̂^{(1)} ∩ V^{(i)} est réalisée comme un sous-groupe du noyau de l’application de capitulation modifiée X′(F_{∞})_{Γ} → lim_{⟶}X′(F_{∞})_{Γ_{n}}.

2.1 Définition

Fixons une fois pour toutes un isomorphisme ℤ_{p}(1) ≃ lim_{⟵}μ_{p^{n}}. La théorie de Kummer donne alors une injection canonique à image dense δ : F^{×} ↪ H^{1}(F, ℤ_{p}(1)). Lorsque F contient μ_{p}, on a coutume de définir le i^{ième} noyau de Tate par

D^{(i)}(F) := {x ∈ F^{×}, δx ∪ z = 0 ∀z ∈ H^{1}(F, ℤ_{p}(i − 1))[p]}

tout du moins pour i ≠ 1. Ici, H^{1}(F, ℤ_{p}(i − 1))[p] désigne le sous-groupe des éléments tués par p. D^{(i)}(F) contient visiblement F^{×p} et l’on considère habituellement le i^{ième} noyau de Tate modulo p : D^{(i)}(F)/F^{×p}.

Lemme 2.2 Avec les notations ci-dessus, il y a un isomorphisme canonique

D^{(i)}(F)/F^{×p} = H^{1}(F, ℤ_{p}(i))/p

La preuve de ce fait est standard, et repose sur une chasse dans le diagramme suivant, pour k = 1 et j = 1.

Lemme 2.3 Soient i, j ∈ ℤ. La fonctorialité du cup produit par rapport aux cobords donne lieu à un diagramme commutatif :

\begin{matrix}H^{1}(F, ℤ_{p}(j))/p^{k} & × & H^{1}(F, ℤ_{p}(i − j))[p^{k}] & ⟶^{∪} & H^{2}(F, ℤ_{p}(i)) \\ ↓ & & δ_{k}^{(i−j)} ↑ & & δ_{k}^{(i)} ↑ \\ H^{1}(F, ℤ/p^{k}(j)) & × & H^{0}(F, ℤ/p^{k}(i − j)) & ⟶^{∪} & H^{1}(F, ℤ/p^{k}(i)) \end{matrix} (2)

où δ_{k}^{(m)} désigne cette fois le morphisme de Bockstein, i.e. le cobord associé à la suite exacte ℤ_{p}(m) → ℤ_{p}(m) → ℤ/p^{k}(m). De même en remplaçant G_{F} par G_{S,F}.

Preuve : La fonctorialité du cup produit par rapport aux cobords donne le diagramme commutatif suivant :

\begin{matrix}H^{1}(F, ℤ_{p}(j)) & × & H^{1}(F, ℤ_{p}(i − j)) & ⟶^{∪} & H^{2}(F, ℤ_{p}(i)) \\ ↓ & & δ_{k}^{(i−j)} ↑ & & δ_{k}^{(i)} ↑ \\ H^{1}(F, ℤ_{p}(j)) & × & H^{0}(F, ℤ/p^{k}(i − j)) & ⟶^{∪} & H^{1}(F, ℤ/p^{k}(i)) \end{matrix}  (3)

Celui de l’énoncé s’en déduit immédiatement.

□

Comme nous le verrons plus loin, un examen attentif de ce même diagramme donne une réponse directe à la question 2.1. Mais d’abord, le lemme 2.2 suggère la définition plus générale suivante.

Définition 2.4 Soit F un corps de nombres quelconque (ne contenant pas nécessairement μ_{p}). On note V^{(i)}(F, p^{k}) l’image du morphisme naturel

H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(i))

On l’appelle le i^{ième} noyau de Tate modulo p^{k}.

Remarque 2.5 Excepté si i = 1, remplacer G_{S,F} par G_{F} dans la définition ci-dessus ne change rien.

Remarque 2.6 Comme le diagramme à lignes exactes suivant commute,

H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ⟶^{p^{k+1}} H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ⟶ H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k+1}(i))
p ↓  ↓  ↓
H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ⟶^{p^{k}} H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ⟶ H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(i))

la dernière flèche verticale permet d’identifier naturellement V^{(i)}(F, p^{k}) avec V^{(i)}(F, p^{k+1})/p^{k}.

2.2 Comparaison

Dans toute cette section, on fixe deux entiers i, j ∈ ℤ vérifiant i ≡ j mod [F (μ_{p^{k}}) : F] (on suppose toujours k ≥ 1). On a alors H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(i)) = H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(j)), si bien qu’il y a un sens à comparer les sous-groupes que sont le i^{ième} et le j^{ième} noyau de Tate modulo p^{k}. Si M est un module galoisien, on notera M(i) ou M ⊗ ℤ_{p}(i) son i^{ième} tordu à la Tate, selon le contexte.

Théorème 2.7 Soit Δ_{i,j} ⊂ H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(j)) l’image, par la corestriction, de H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ}(j − i) vu comme sous-groupe de H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(j)). Si t est l’entier maximal vérifiant i ≡ j mod [F (μ_{p^{k+t}}) : F], alors on a un isomorphisme naturel

V^{(i)}(F, p^{k})/V^{(j)}(F, p^{k}) ∩ V^{(i)}(F, p^{k}) ≃ p^{t}Δ_{i,j}

Preuve : On suppose i ≠ j, sans quoi il n’y a rien à dire. Notons \overline{1} le générateur canonique de H_{S}^{0}(F, ℤ/p^{k}(j − i)) = ℤ/p^{k}(j − i). En reprenant les notations du lemme 2.3 (où i et j sont intervertis), on obtient un carré commutatif

V^{(i)}(F, p^{k})  ⟶^{∪(δ_{k}^{(j−i)}\overline{1})} H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(j))
nat⊗\overline{1} ↓  id ↓
H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(i)) ⊗ ℤ/p^{k}(j − i) ⟶^{δ_{k}^{(j)}} H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(j))

où nat désigne l’inclusion naturelle V^{(i)}(F, p^{k}) → H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(i)), et id l’identité. Maintenant Ker δ_{k}^{(j)} = V^{(j)}(F, p^{k}), si bien que le que Ker (∪(δ_{k}^{(j−i)}\overline{1})) = V^{(j)}(F, p^{k}) ∩ V^{(i)}(F, p^{k}). Oubliant l’indice (F, p^{k}) pour alléger l’écriture, on obtient un isomorphisme

V^{(i)}/V^{(j)} ∩ V^{(i)} ⟶^{∪(δ_{k}^{(j−i)}\overline{1})} H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ∪ (δ_{k}^{(j−i)}\overline{1})

Pour conclure, nous allons utiliser la proposition 1.3 afin d’identifier le second membre. D’abord, il faut noter que l’inflation de Γ à G_{S} permet d’identifier H^{1}(Γ, ℤ_{p}(j − i)) au sous groupe de torsion de H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(j − i)). De cette façon, on regarde δ_{k}^{(j−i)}\overline{1} comme un élément de H^{1}(Γ, ℤ_{p}(j − i)). En fait, il est facile de voir que δ_{k}^{(j−i)}\overline{1} engendre p^{t}H^{1}(Γ, ℤ_{p}(j −i)). Comme cd_{p}Γ = 1, la corestriction cor_{F}^{F_{∞}} : lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, ℤ_{p}(j − i)) → H^{1}(Γ, ℤ_{p}(j − i)) est surjective,

et l’on peut donc choisir un élément α^{(j−i)} ∈ lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, ℤ_{p}(j − i)) tel que

cor_{F}^{F_{∞}}p^{t}α^{(j−i)} = δ_{k}^{(j−i)}\overline{1}. Mais alors, α^{(j−i)} = α ⊗ 1 ∈ lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}ℤ_{p}(j − i)) =

lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, ℤ_{p}) ⊗ ℤ_{p}(j − i), pour un certain générateur α de lim_{⟵}H^{1}(Γ_{n}, ℤ_{p}). Observant maintenant le diagramme commutatif suivant

H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) ⟶^{id⊗1} H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(j)) ⟶^{cor_{F}^{F∞}} H^{2}(F, ℤ_{p}(j))
(∪p^{t}α) ↑  ∪p^{t}α^{(j−i)} ↑  ↑ ∪(δ_{k}^{(j−i)}\overline{1})
H_{S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) ⟵^{id} H_{S}^{1}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) ⟵^{res_{F}^{F∞}} H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))

on voit que

H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ∪ (δ_{k}^{(j−i)}\overline{1}) = p^{t}cor_{F}^{F_{∞}}(((res_{F}^{F_{∞}}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))) ∪ α)(j − i))

D’où le résultat, puisque res_{F}^{F_{∞}}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)))∪α = H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ}, d’après 1.3.

□

Avant d’aller plus loin, relevons les faits suivants :

Lemme 2.8 Notons r_{1} (resp. r_{2}) le nombre de places réelles (resp. complexes) de F, et ϵ_{i} = rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)), pour tout i ∈ ℤ. Alors :

(i) rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) − rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) = r_{2} si i est pair non nul, r_{2} + 1 si i = 0, et r_{1} + r_{2} sinon. (ii) Si j ≡ i mod[F (μ_{p^{k}}) : F], alors \frac{o(V^{(i)}(F,p^{k}))}{o(V^{(j)}(F,p^{k}))} = p^{k(ϵ_{i}−ϵ_{j})}. (iii) Si ϵ_{i} = ϵ_{j}, alors les groupes Δ_{i,j} et Δ_{j,i} sont abstraitement isomorphes.

Preuve : (i) Il s’agit d’un fait bien connu. On peut par exemple l’obtenir en remarquant que le quotient \frac{o(H_{S}^{1}(F,ℤ_{p}(i))/p^{n})}{o(H_{S}^{0}(F,ℤ_{p}(i))/p^{n}).o(H_{S}^{2}(F,ℤ_{p}(i))/p^{n})} est équivalent à la caractéristique d’Euler-Poincaré χ(G_{S}, ℤ/p^{n}(i)), lorsque n tend vers l’infini.

(ii) Supposons d’abord que i, j ≠ 0. De deux choses l’une : soit [F (μ_{p^{k}}) : F] et pair, soit r_{1} = 0. Dans les deux cas (i) montre que

rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) − rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) = rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(j)) − rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(j))

D’où l’on déduit que \frac{o((f_{ℤp}H_{S}^{1}(F,ℤ_{p}(i)))/p^{k})}{o((f_{ℤp}H_{S}^{1}(F,ℤ_{p}(j)))/p^{k})} = p^{ϵ_{i}−ϵ_{j}}. Maintenant, V^{(i)}(F, p^{k}) se décompose en une somme directe (t_{ℤ_{p}}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)))/p^{k}⊕(f_{ℤ_{p}}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)))/p^{k}, et de même pour V^{(j)}(F, p^{k}). Mais l’ordre du premier facteur ne change pas lorsqu’on remplace i par j, à cause de la congruence de l’énoncé. Le cas i = 0, j ≠ 0 se traite de façon analogue.

(iii) Notons k_{max} l’entier maximal vérifiant i ≡ j mod [F (μ_{p^{kmax}}) : F]. Soit k ≤ k_{max}, et t = k_{max} − k. D’après le point précédent, l’ordre de V^{(i)}(F, p^{k})/V^{(i)}(F, p^{k}) ∩ V^{(i)}(F, p^{k}) ne change pas lorsqu’on intervertit i et j. Appliquant 2.7, on obtient o(p^{t}Δ_{i,j}) = o(p^{t}Δ_{j,i}). Comme ceci est valable pour tout t < k_{max} et que p^{k_{max}}Δ_{i,j} = p^{k_{max}}Δ_{j,i} = 0 (car Δ_{i,j} est un quotient de V^{(i)}(F, p^{k_{max}})), c’est que la structure des groupes Δ_{i,j} et Δ_{j,i} est la même.

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On en déduit immédiatement la réponse à la question 2.1 :

Corollaire 2.9 Soient i, j, k, t comme dans 2.7. Si p^{δ_{i,j}} désigne l’exposant de Δ_{i,j}, alors

V^{(i)}(F, p^{k}) = V^{(j)}(F, p^{k}) ⇔ ϵ_{i} = ϵ_{j} et t ≥ δ_{i,j}
□

Concrètement, on peut majorer Δ_{i,j} de la façon suivante :

Lemme 2.10 Soient i, j, k, t comme dans 2.7, et notons ϵ_{i} := rg_{ℤ_{p}}H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)). Alors

(i) o(p^{t}Δ_{i,j}) ≤ p^{ϵ_{i}k}.o(p^{t}cap^{(j)}(F_{∞}/F)). (ii) Si i est bon, alors l’exposant et l’ordre de Δ_{i,j} sont majorés par ceux du sous-module fini maximal de H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)).

Preuve : (i) On dévisse l’image de l’application

p^{t}cor_{F}^{F_{∞}} : H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ}(j − i) → H^{2}(F, ℤ_{p}(j))

suivant la suite exacte tautologique

t_{ℤ_{p}}H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} ↪ H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} ↠ f_{ℤ_{p}}H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ}

D’abord, un raisonnement classique en théorie d’Iwasawa montre que l’image de t_{ℤ_{p}}H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ}(j−i) est un sous-groupe de p^{t}cap^{(j)}(F_{∞}/F). On note ensuite que le quotient

p^{t}cor_{F}^{F_{∞}}H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ}(j − i)/p^{t}cor_{F}^{F_{∞}}t_{ℤ_{p}}H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ}(j − i)

est un groupe abélien fini d’exposant divisant p^{k}, et engendré par ϵ_{i} = rg_{ℤ_{p}}H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} éléments. On majore brutalement son ordre par (p^{k})^{ϵ_{i}} pour obtenir (i).

(ii) On note simplement que pour i bon, H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} est fini.

□

Remarque 2.11 Le lemme précédent montre que le cas k = 1 du corollaire 2.9 contient et précise les résultats de [3], [1] et [4] concernant la comparaison des noyaux de Tate. Pour k quelconque, ce corollaire contient aussi le critère asymptotique de [15], obtenu précédemment en généralisant la méthode de Greenberg.

En vue de la stratégie annoncée dans l’introduction, qui consiste à se ramener aux twists i = 0 ou i = 1, nous devons étudier le cas où i est mauvais (typiquement, i = 1 lorsque #S_{p} > 1). Notons ℤ^{b} l’ensemble des bons twists, et ℤ^{m} son complémentaire. Il est facile de montrer que ℤ^{m} est fini (cf par exemple [14]). D’après le corollaire 2.9, on a V^{(i)}(F, p^{k}) = V^{(j)}(F, p^{k}) dès que i, j ∈ ℤ^{b} sont suffisamment proches (i.e. si t est suffisamment grand). En termes vagues, l’application i ↦ V^{(i)}(F, p^{k}) est localement constante (pour la topologie appropriée) sur ℤ^{b}, et ℤ^{m} est l’ensemble des points de discontinuité. Il semble assez naturel de modifier V^{(i)}(F, p^{k}) “par continuité” aux mauvais twists. Cela donne :

Définition 2.12 Soit i ∈ ℤ. Si i est bon, on pose V̂^{(i)}(F, p^{k}) = V^{(i)}(F, p^{k}). Si i est mauvais, on pose V̂^{(i)}(F, p^{k}) = V^{(j)}(F, p^{k}), pour n’importe quel bon j vérifiant j ≡ i mod[F (μ_{p^{k+h}}) : F], où p^{h} désigne l’exposant du sous-module fini maximal de H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)).

On appelle V̂^{(i)}(F, p^{k}) le i^{ième} noyau de Tate modulo p^{k} modifié.

Remarque 2.13 Le D^{(1)}(F)/F^{×p} de [4] coïncide avec notre V̂^{(1)}(F, p).

On notera que les noyaux de Tate modifiés ne dépendent pas de S. Le lemme suivant donne une description plus explicite de V̂^{(i)}(F, p^{k})

Lemme 2.14 Soit m_{α} = (∪α) ∘ res_{F}^{F_{∞}} : H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) l’application de la proposition 1.3. Si l’on note

Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) := m_{α}^{−1}(t_{ℤ_{p}}H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)))

alors on a V̂^{(i)}(F, ℤ_{p}(i)) = Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/p^{k}.

Preuve : D’abord, on remarque que

rg_{ℤ_{p}}(H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))) = ϵ_{i}  (4)

En effet,

rg_{ℤ_{p}}(H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))) = rg_{ℤ_{p}}m_{α}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))

par définition de Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)). Mais m_{α}H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) = H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} (cf 1.3), il possède donc le même ℤ_{p}-rang que H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))_{Γ} = H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)), c’est-à-dire ϵ_{i}. De (4), on déduit que o(V^{(i)}(F, p^{k})/(Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/p^{k})) = p^{ϵ_{i}}. Fixons maintenant j comme dans 2.12, de sorte que V̂^{(i)}(F, p^{k}) = V^{(j)}(F, p^{k}). Avec ce qui précède, 2.8 (ii) montre que V̂^{(i)}(F, p^{k}) et Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/p^{k} possèdent le même ordre. Il suffit donc de montrer une inclusion entre ces deux groupes pour terminer la preuve. Nous allons montrer que

Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))/p^{k} ⊂ V̂^{(i)}(F, p^{k})  (5)

Si t est l’entier maximal tel que j ≡ i mod[F (μ_{p^{t+k}}) : F], p^{t} annule le sousmodule fini maximal de H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i)) (cf. choix de j dans 2.12). A fortiori p^{t}m_{α}(Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i))) = 0. Observons alors le diagramme commutatif suivant (cf preuve de 2.7) :

H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ⟶^{p^{t}m_{α}} H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{Γ} ⟶^{id⊗1} H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ(j))
nat ↓  cor_{F}^{F∞} ↓
V^{(i)}(F, p^{k})  ⟶^{∪(δ_{k}^{(j−i)}\overline{1})}  H^{2}(F, ℤ_{p}(j))

On voit que l’image de Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) par la flèche notée nat, est dans le noyau de celle notée ∪(δ_{k}^{(j−i)}\overline{1}). Mais Ker (∪(δ_{k}^{(j−i)}\overline{1})) = V^{(i)}(F, p^{k}) ∩ V^{(j)}(F, p^{k}), comme on l’a vu au début de la preuve de 2.7. D’où l’inclusion (5), et l’égalité de l’énoncé.

□

Remarque 2.15 Si l’on identifie H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(1)) aux S-unités p-complétées \overline{U}_{F}^{S} via la théorie de Kummer (i.e. via δ, cf 2.1), alors on montre facilement le fait suivant : Ĥ_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(1)) est en fait un sous-groupe de \overline{U}′_{F} = \overline{U}_{F}^{S_{p}}, et il coïncide avec Û′_{F} (cf fin des préliminaires) si et seulement si F vérifie la conjecture de Gross.

Définition 2.16 Soit Λ := ℤ[[Γ]] l’algèbre d’Iwasawa, γ un générateur de Γ. Si M est Λ-module de torsion, de type fini, on note M^{reg} le sous-module formé par les éléments qui possèdent un annulateur f, tel que f soit étranger à γ^{p^{n}} − 1 pour tout n. On dit que M est Γ-régulier si M = M^{reg}. On note aussi M^{0} le sous-module fini maximal de M.

On a les faits suivants :

Lemme 2.17 (i) (M/M^{reg})^{reg} = 0. En particulier, (M/M^{reg})^{0} = 0. (ii) Pour i ≠ 0, (M/M^{reg})(i) est régulier. (iii) Pour i ≠ 0, l’application naturelle M^{reg}(i)_{Γ} → M(i)_{Γ} est injective.

□

Nous pouvons maintenant énoncer un analogue modifié du théorème de comparaison.

Théorème 2.18 Soit Δ̂_{i,j} ⊂ (H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(j))^{reg})_{Γ} l’image du sous-groupe (H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(i))^{reg})^{Γ}(j − i) de H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(j)) par l’application naturelle de co-descente. Si t est l’entier maximal vérifiant i ≡ j mod [F (μ_{p^{k+t}}) : F], alors on a un isomorphisme naturel

V̂^{(i)}(F, p^{k})/V̂^{(j)}(F, p^{k}) ∩ V̂^{(i)}(F, p^{k}) ≃ p^{t}Δ̂_{i,j}

Idée de la preuve : on se ramène au cas ou i est j sont bons, grâce au lemme précédent.

□

Remarque 2.19 On notera que Δ̂_{i,j} est un sous-groupe de ĉap^{(j)}(F_{∞}/F), où ĉap^{(j)}(F_{∞}/F) désigne le noyau de l’application de capitulation modifiée

(H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(j))^{reg})_{Γ} → lim_{⟶}(H_{Iw,S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(j))^{reg})_{Γ_{n}}

Bien sûr, si j est bon, ĉap^{(j)}(F_{∞}/F) = cap^{(j)}(F_{∞}/F). Maintenant, si j = 1 et S = S_{p} ∪ S_{∞}, on notera que H_{S}^{2}(F_{∞}, ℤ_{p}(1))^{reg} ⊆ X′(F_{∞}), avec égalité si et seulement si la conjecture de Gross est vraie à tous les étages de la tour cyclotomique.

2.3 Une définition alternative

Nous avons déjà remarqué que lorsque D^{(i)}(F) ⊂ F^{×} est défini (i.e. lorsque μ_{p} ⊂ F, i ≠ 1), notre noyau de Tate modulo p, noté V^{(i)}(F, p) coïncide avec D^{(i)}(F)/F^{×p}. Il serait souhaitable d’avoir un sous-groupe de F^{×} (ou plutôt de H^{1}(F, ℤ_{p}(1))), disons V^{(i)}(F) qui vérifie V^{(i)}(F)/V^{(i)}(F) ∩ F^{×p^{k}} = V^{(i)}(F, p^{k}) (ou peut-être V̂^{(i)}(F, p^{k}) ?) dès que cela a un sens, i.e. dès que i ≡ 1 mod[F (μ_{p^{k}}) : F].

Définition 2.20 Considérons le cup produit suivant :

H^{1}(F, ℤ_{p}(1)) × H^{1}(F, ℤ_{p}(i − 1)) →^{∪} H^{2}(F, ℤ_{p}(i))

On définit le i^{ième} noyau de Tate fin V^{(i)}(F) ⊂ H^{1}(F, ℤ_{p}(1)) par

V^{(i)}(F) = H^{1}(F (μ_{p^{∞}})/F, ℤ_{p}(i − 1))^{⊥}

où H^{1}(F (μ_{p^{∞}})/F, ℤ_{p}(i−1)) est vu comme un sous-groupe de H^{1}(F, ℤ_{p}(i−1)) par inflation, et (−)^{⊥} désigne l’orthogonal pour l’accouplement ci-dessus.

Proposition 2.21 On suppose que i est bon, ou que i = 1 et que F vérifie la conjecture de Gross. Si k ≥ 0 est tel que i ≡ 1 mod[F (μ_{p^{k}}) : F], alors V̂^{(i)}(F, p^{k}) vu comme sous-groupe de H^{1}(F, μ_{p^{k}}), coïncide avec l’image de V^{(i)}(F) dans H^{1}(F, μ_{p^{k}}).

Idée de la preuve : on distingue les cas i = 1 et i ≠ 1, et on utilise le lemme 2.3.

En s’inspirant du lemme 2.14, on pourrait définir des noyaux de Tate fins modifiés, qui coïncideraient avec les V^{(i)} aux bons i, et en i = 1 si et seulement si la conjecture de Gross est vraie.

3 Bornes pour les noyaux de capitulation

Fixons une extension abélienne E/F de groupe de Galois G = G(E/F). A partir de maintenant, S est un ensemble fini de places de F, contenant les places p-adiques et archimédiennes, ainsi que celles qui se ramifient dans E/F. On note cap^{(i)}(E/F) (resp. cocap^{(i)}(E/F)) le noyau (resp. conoyau) de l’application de capitulation - cohomologiquement, c’est la restriction : H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i))^{G}. Suivant [1], on cherche à produire des bornes inférieures pour l’ordre de cap^{(i)}(E/F). La motivation de la présente étude est le cas S = S_{p} ∪ S_{∞}, où les bornes de [1] sont triviales. Nous proposons deux approches différentes, qui donnent des résultats complémentaires. Dans les deux, on cherche à se ramener aux twists i = 0 ou i = 1, en utilisant les résultats de la section précédente.

3.1 Minoration globale

Dans cette section, E/F est une extension S-ramifiée abélienne de groupe G, d’exposant divisant p^{k}. Pour obtenir une minoration globale, on se ramène au cas i = 0. Grossièrement, l’idée est la suivante : l’extension E/F correspond à un sous-groupe de H^{1}(G, ℤ/p^{k}) ⊂ H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}) dont l’image par le morphisme de Bockstein :

δ_{k}^{(0)} : H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}) → H_{S}^{2}(F, ℤ_{p})

est un sous-groupe de cap^{(0)}(E/F). Comme Ker δ_{k}^{(0)} = V^{(0)}(F, p^{k}), la comparaison entre les différents noyaux de Tate modulo p^{k} effectuée plus haut permet de contrôler l’ordre d’un sous-groupe de cap^{(i)}(E/F) analogue, lorsque i est suffisamment proche de 0. Ce changement de twist fait apparaître le défaut Δ_{i,0} du théorème 2.7, dont nous savons borner l’ordre (cf lemme. 2.10).

Comme d’habitude, F_{∞}/F et F̃/F désignent respectivement la ℤ_{p}-exten-sion cyclotomique et la ℤ_{p}-extension multiple maximale (ie. composée de toutes les ℤ_{p}-extensions de F). On note aussi F_{S}^{ab}(p)/F la pro-p-extension S-ramifiée abélienne maximale et X_{S}(F) son groupe de Galois.

Théorème 3.1 Soit E/F une p-extension abélienne, non ramifiée hors S. Si i ≡ 0 mod[F (μ_{p^{k+t}}) : F], avec G(E/F)^{p^{k}} = 1, alors

cap^{(i)}(E/F) ≥ \frac{[E : E ∩ F̃]}{o(p^{t}Δ_{i,0})} ≥ \frac{[E : E ∩ F̃]}{p^{ϵ_{i}k}.o(p^{t} cap^{(0)}(E/F))}

où ϵ_{i} désigne le ℤ_{p}-rang de H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)).

Preuve : Ecrivons la cohomologie de la suite exacte ℤ_{p} → ℤ_{p} → ℤ/p^{k}. On obtient deux suites exactes compatibles, où l’on numérote les flèches de restriction, pour les besoins de la suite :

\begin{aligned}0 & ⟶ & V^{(0)}(F, p^{k}) & ⟶ & H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}) & ⟶^{δ_{k}^{(0)}} & H_{S}^{2}(F, ℤ_{p})[p^{k}] & ⟶ & 0 \\ & & res_{1}^{(0)} ↓ & & res_{2}^{(0)} ↓ & & res_{3}^{(0)} ↓ \\ 0 & ⟶ & V^{(0)}(E, p^{k}) & ⟶ & H_{S}^{1}(E, ℤ/p^{k}) & ⟶ & H_{S}^{2}(E, ℤ_{p})[p^{k}] & ⟶ & 0 \end{aligned} (6)

De même, la suite exacte ℤ_{p}(i) → ℤ_{p}(i) → ℤ/p^{k}(i), donne

\begin{aligned}0 & ⟶ & V^{(i)}(F, p^{k}) & ⟶ & H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(i)) & ⟶^{δ_{k}^{(i)}} & H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i))[p^{k}] & ⟶ & 0 \\ & & res_{1}^{(i)} ↓ & & res_{2}^{(i)} ↓ & & res_{3}^{(i)} ↓ \\ 0 & ⟶ & V^{(i)}(E, p^{k}) & ⟶ & H_{S}^{1}(E, ℤ/p^{k}(i)) & ⟶ & H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i))[p^{k}] & ⟶ & 0 \end{aligned} (7)

Comme i ≡ 0 mod[F (μ_{p^{k}}) : F], les termes centraux de ces deux diagrammes sont identiques, si bien que Ker res_{2}^{(i)} = Ker res_{2}^{(0)}. Par ailleurs,

o(Ker res_{1}^{(i)}) ≤ o(Ker (V^{(i)}(F, p^{k}) + V^{(0)}(F, p^{k}) → H_{S}^{1}(E, ℤ/p^{k}(i)))
≤ o(Ker res_{1}^{(0)}).o(V^{(i)}(F, p^{k}) + V^{(0)}(F, p^{k})/V^{(0)}(F, p^{k}))

Mais d’après 2.7, on a

V^{(i)}(F, p^{k}) + V^{(0)}(F, p^{k})/V^{(0)}(F, p^{k}) = V^{(i)}(F, p^{k})/V^{(i)}(F, p^{k}) ∩ V^{(0)}(F, p^{k})

≃ p^{t}Δ_{i,0} On écrit donc

o(Ker res_{3}^{(i)}) ≥ \frac{o(Ker res_{2}^{(i)})}{o(Ker res_{1}^{(i)})} ≥ \frac{o(Ker res_{2}^{(0)})}{o(p^{t}Δ_{i,0}).o(Ker res_{1}^{(0)})}

et cela donne la première inégalité de l’énoncé, compte tenu de

o(Ker res_{1}^{(0)}) = [E ∩ F̃ : F] et o(Ker res_{2}^{(0)}) = [E : F]

Pour obtenir la seconde, on utilise le lemme 2.10.

□

Supposons que F vérifie la conjecture de Leopoldt en p, alors H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}) est fini. Notons p^{k} son exposant, et T la p^{k}-extension abélienne élémentaire S-ramifiée maximale de F. Si i ≡ 1 mod [F (μ_{p^{k+1}}) : F], il suffit d’observer que les flèches δ_{k}^{(0)} et δ_{k}^{(i)} des diagrammes (6) et (7) sont surjectives pour voir que H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i))[p^{k}] = H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) capitule dans T, comme annoncé dans l’introduction. Le résultat précédent montre que la capitulation ainsi observée a lieu dès T′, pour n’importe quelle sous-extension T′/F de T/F vérifiant T′F̃ = F_{S}^{ab}(p).

Lorsque i ne vérifie pas la congruence demandée, il n’existe pas en général de p-extension S-ramifiée abélienne finie dans laquelle H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) capitule. Par exemple, une telle extension n’existe pas pour F = ℚ, i pair et H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) ≠ 0. Dans certains cas, on peut tout de même utiliser la minoration 3.1 pour obtenir des résultats plus faibles, mais indépendant de i. Par exemple :

Corollaire 3.2 Soit F ⊃ μ_{p} tel que H_{S}^{2}(F, ℤ/p) ≠ 0. On suppose que X′(F_{∞}) ne possède aucun sous-module fini non nul. Si E/F est une p-extension abélienne S-ramifiée linéairement disjointe de F̃/F, alors cap^{(i)}(E/F) ≠ 0, pour tout bon i.

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Notons que pour i = 1, on parle bien de cap^{(1)}(E/F), et non de ĉap^{(1)}(E/F) (cf 2.19). Cela tient au fait que l’on a utilisé V^{(i)} et non V̂^{(i)}.

3.2 Minoration locale

Dans cette section, E/F est une extension S-ramifiée, cyclique d’ordre p^{k}, de groupe G. On souhaite ici minorer l’ordre de cap^{(i)}(F) en utilisant la théorie du corps de classes local. L’approche proposée par [1] repose sur l’observation suivante : si i est E-bon (i.e. si H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i)) est fini), les groupes H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)) = H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i))_{G} et H_{S}^{2}(E, ℤ_{p}(i))^{G} ont le même ordre, puisque G est cyclique. On a alors automatiquement aussi o(cap^{(i)}(E/F)) = o(cocap^{(i)}(E/F)), et il reste à minorer le conoyau de capitulation. Le gain tient au fait que celui-ci se “localise mieux”. Il faut noter que les minorations que nous obtenons ici sont complémentaires de celles du paragraphe précédent ; elles permettront notamment d’obtenir un exemple de borne non triviale pour certaines extensions ℤ_{p}-plongeables.

Le point de départ est le suivant :

Proposition 3.3 Soit i ≠ 0, et supposons i E-bon. Fixons un générateur a de H^{1}(G, ℤ/p^{k}) ⊂ H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}), et considérons le cup produit suivant

H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) × H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}) →^{∪} H_{S}^{2}(F, ℤ/p^{k}(i))

Alors o(cap^{(i)}(E/F)) ≥ o(H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ∪ a).

Preuve : Si x = cor_{F}^{E}y, avec y ∈ H_{S}^{1}(E, ℤ_{p}(i)), on a

x ∪ a = (cor_{F}^{E}y) ∪ a = cor_{F}^{E}(y ∪ res_{F}^{E}a) = 0

puisque res_{F}^{E}a = 0. Ainsi, l’application ∪a : H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{S}^{2}(F, ℤ/p^{k}(i)) se factorise par Ĥ^{0}(G, H_{S}^{1}(E, ℤ_{p}(i))). On a donc o(Ĥ^{0}(G, H_{S}^{1}(E, ℤ_{p}(i)))) ≥ o(H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ∪ a). Mais G est cyclique, si bien que Ĥ^{0}(G, H_{S}^{1}(E, ℤ_{p}(i))) est isomorphe à H^{2}(G, H_{S}^{1}(E, ℤ_{p}(i))), lequel s’identifie à cocap^{(i)}(E/F), via la différentielle d_{2}^{0,2} de la suite spectrale d’inflation-restriction

E_{2}^{p,q} = H^{p}(G, H_{S}^{q}(E, ℤ_{p}(i))) ⇒ H^{p+q}(F, ℤ_{p}(i)) = E^{p+q}

(la surjectivité de d_{2}^{0,2} tient à cd_{p}G_{S} ≤ 2 et H_{S}^{0}(E, ℤ_{p}(i)) = 0)

□

Remarque 3.4 Si k suffisamment grand, H_{S}^{2}(F, ℤ/p^{k}(i)) = H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)). En faisant cette identification, on obtient une application H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) → H_{S}^{2}(F, ℤ_{p}(i)), induite par le cup produit avec a. En général, il n’y a pas de raison pour que l’image de celle-ci soit dans cap^{(i)}(E/F). Noter le contraste avec la situation étudiée dans [13].

Si F′/F est une extension abélienne, on note (\frac{−}{F′_{v}/F_{v}}) le symbole d’Artin, à image dans G(F′_{v}/F_{v}), et (\frac{−}{F′/F})_{v} son image dans G(F′/F). On note aussi loc_{v} l’application de localisation en v et loc_{S} = ⊕_{v∈S}loc_{v} : H_{S}^{q}(F, −) → ⊕_{v}H^{q}(F_{v}, −).

Théorème 3.5 On suppose que i est E-bon, et que i ≡ 1 mod [F (μ_{p^{k+t}}) : F].

(i) Si F vérifie la conjecture de Gross, alors o(cap^{(i)}(E/F)).o(p^{t}Δ̂_{1,i}) (et a fortiori o(cap^{(i)}(E/F)).o(cap^{(i)}(p^{t}F_{∞}/F)))) est minoré par l’ordre de l’image de l’application

⊕(\frac{−}{E_{v}/F_{v}}) : Û′_{F} → ⊕_{v∈S} G(E_{v}/F_{v})

(ii) Si F contient μ_{p^{k}}, on note F_{k}^{(i)}/F l’extension correspondant à V^{(i)}(F, p^{k}) ⊂ H_{S}^{1}(F, ℤ/p^{k}(1)) par la théorie de Kummer, et l’on choisit x ∈ F tel que E = F (^{p^{k}} \sqrt{x}). Alors o(cap^{(i)}(E/F)) est minoré par l’ordre du sous-groupe de G(F_{k}^{(i)}/F) engendré par les éléments (_{\frac{x}{F_{k}^{(i)}/F}})_{v}.

Preuve : Comme le suggère la proposition 3.3, nous allons minorer l’ordre de H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) ∪ a. Pour cela, on procède par localisation, i.e. on évalue l’ordre de l’image de l’application composée suivante :

H_{S}^{1}(F, ℤ_{p}(i)) →^{∪a} H_{S}^{2}(F, ℤ/p^{k}(i)) →^{loc_{S}} ⊕_{v∈S} H_{S}^{2}(F, ℤ/p^{k}(i))  (8)

On note a_{v} = loc_{v}a. C’est un générateur de H^{1}(E_{v}/F_{v}, ℤ/p^{k}) ⊂ H^{1}(F_{v}, ℤ/p^{k}).

(i) Puisque i ≡ 1 mod [F (μ_{p^{k}}) : F], on peut changer i en 1 dans les deux derniers termes de (8). L’image en question s’identifie donc à celle de V^{(i)}(F, p^{k}) par la seconde flèche horizontale de la première ligne, dans le diagramme suivant :

F^{×}/F^{×p^{k}}  ⟶_{∼}^{δ} H^{1}(F, ℤ/p^{k}(1)) ⟶^{⊕∪a_{v}} ⊕_{v∈S} H^{2}(F_{v}, ℤ/p^{k}(1))

⊕( \frac{−}{Ev/Fv}) ↓  ⊕inv_{v} ↓
⊕_{v∈S} G(E_{v}/F_{v})  ⟶^{⊕a_{v}}  ⊕_{v∈S} ℤ/p^{k}

Mais le diagramme ci-dessus est commutatif ([10], XIV, prop. 5) et la flèche horizontale inférieure est injective, donc l’image de (8) s’identifie à celle de V^{(i)}(F, p^{k}) par

ϕ := ⊕(\frac{−}{E_{v}/F_{v}}) ∘ δ^{−1} : H^{1}(F, ℤ/p^{k}(1)) → ⊕_{v∈S} G(E_{v}/F_{v})  (9)

Maintenant, on a

o(ϕ(V^{(i)}(F, p^{k}))) ≥ o(ϕ(V^{(i)}(F, p^{k}) ∩ V̂^{(1)}(F, p^{k}))) ≥ \frac{o(ϕ(V̂^{(1)}(F, p^{k})))}{o(p^{t}Δ̂_{1,i})}

et cela donne la minoration de l’énoncé, puisque sous la conjecture de Gross, on a Û′_{F} /p^{k} = δ^{−1}(V̂^{(1)}(F, p^{k})).

(ii) Comme en (i), on cherche à déterminer l’ordre de l’image de la flèche

⊕(\frac{−}{E_{v}/F_{v}}) : δ^{−1}(V^{(i)}(F, p^{k})) → ⊕_{v∈S} G(E_{v}/F_{v})

Lui appliquant le foncteur Hom(−, μ_{p^{k}}), on obtient via la théorie de Kummer la flèche suivante :

⊕_{v∈S} E_{v}^{×p^{k}} ∩ F_{v}^{×}/F_{v}^{×p^{k}} → G(F_{k}^{(i)}/F)

dont on vérifie qu’elle est induite par le produit des applications de réciprocité locales. D’où la minoration annoncée.

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Remarque 3.6 Plaçons-nous dans le cadre de [1], i.e. k = 1, F ⊂ μ_{p} et V^{(i)}(F, p) = V^{(0)}(F, p). Pour obtenir la minoration du th. 3.7 (loc. cit.), il suffit de négliger la contribution des places p-adiques dans la minoration (ii) ci-dessus, et d’expliciter le symbole (_{\frac{x}{F_{1}^{(i)}/F}})_{v} aux places modérées.

Pour chaque place de F, on note d_{v}(E/F) (resp. e_{v}(E/F), f_{v}(E/F)) le degré de l’extension locale E_{v}/F_{v} (resp. l’indice d’inertie de v dans E/F, le degré de l’extension résiduelle k_{v}(E)/k_{v}(F)).

Corollaire 3.7 On suppose que F vérifie la conjecture de Gross. Si i est E-bon, et vérifie i ≡ 1 mod[F (μ_{p^{k+t}}) : F] avec p^{t}cap^{(i)}(F_{∞}/F) = 0, alors o(cap^{(i)}(E/F)) est minoré par l’ordre de l’image de l’application

⊕ϕ_{v} : Û_{F} → ⊕_{v∈S−S_{p}}k_{v}(F)^{×} ⊕_{v∈S_{p}} ℤ/d_{v}(E/F)

où ϕ_{v} est définie par l’élévation à la puissance f_{v}(E/F) suivie de la réduction modulo v, si v ∈ S − S_{p}; ou par l’élévation à la puissance e_{v}(E/F) suivie de la valuation v réduite modulo d_{v}(E/F), si v ∈ S_{p}.

Preuve : On utilise le point (i) du théorème précédent, et l’on minore l’image de

⊕(\frac{−}{E_{v}/F_{v}}) : Û′_{F} → ⊕_{v∈S} G(E_{v}/F_{v})

par celle de

⊕(\frac{−}{E_{v}/F_{v}}) : Û′_{F} → ⊕_{v∈S} G(E_{v}^{0}/F_{v})

où E_{v}^{0} = E_{v} si v ∈ S − S_{p}, et E_{v}^{0}/F_{v} est la sous-extension non ramifiée maximale de E_{v}/F_{v} si v ∈ S_{p}. Il suffit alors d’expliciter les applications de réciprocité locales dans E_{v}^{0}/F_{v}, (symboles modérés et sauvages).

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Le cas S = S_{p}

Comme annoncé dans l’introduction, on montre ici comment exploiter le théorème 3.5 dans le cas où E/F est une extension S-ramifiée, cyclique de degré p^{k}, avec S = S_{p} ∪S_{∞}. On souhaite en particulier produire des exemples où E/F est ℤ_{p}-plongeable et cap^{(i)}(E/F) ≠ 0. C’est de loin le cas le plus difficile, mais c’est aussi le plus intéressant, à cause de son lien avec la conjecture de Greenberg généralisée (on renvoie à [8] et [13] pour plus d’explications).

Proposition 3.8 On suppose que i est E-bon, i ≡ 1 mod[F (μ_{p^{k+t}}) : F]. (i) Si F vérifie la conjecture de Gross, alors ∀v ∈ S_{p}, on a

\frac{[k_{v}(E) : k_{v}(F)]}{u_{v}} | o(cap^{(i)}(E/F)).o(p^{t}cap^{(i)}(F_{∞}/F))

où u_{v}ℤ_{p} = v(Û′_{F}) (noter que v(Û′_{F}) ≠ 0, puisque p ∈ Û′_{F}).

(ii) On suppose que μ_{p^{k}} ⊂ F et l’on choisit x tel que E = F (^{p^{k}} \sqrt{x}). Si F vérifie la conjecture de Leopoldt, alors ∀v ∈ S_{p}, on a

\frac{[k_{v}(F_{k}^{(0)}) : k_{v}(F)]}{v(x)} | o(cap^{(i)}(E/F)).o(p^{t′}cap^{(i)}(F_{∞}/F))

où t′ est l’entier maximal vérifiant i ≡ 0 mod [F (μ_{p^{k}}) : F].

Preuve : (i) est une conséquence directe du corollaire 3.7, en minorant o(Im ⊕ ϕ_{v}) par max(o(Im ϕ_{v})). Pour obtenir (ii), on utilise 3.5 (ii). Le changement de twist de i à 0 fait apparaître p^{t′}Δ_{0,i}, dont on majore l’ordre par celui de p^{t′}cap^{(i)}(F_{∞}/F). On considère ensuite le sous-groupe de G(F_{k}^{(0)}/F), engendré par les éléments (_{\frac{x}{F_{k}^{(0)}/F}})_{v}; son ordre est évidemment minoré par celui de

chacun des éléments (_{\frac{x}{F_{k}^{(0)}/F}})_{v}. Ne sachant calculer ces derniers, on regarde

leurs images dans la sous-extension maximale de F_{k}^{(0)}/F qui soit non ramifiée en v, et cela donne la minoration de l’énoncé.

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Remarque 3.9 Alors que les minorations (i) et (ii) du théorème 3.5 sont quasiment identiques, celles des points (i) et (ii) ci-dessus en sont très loin (lorsque l’une est grande, l’autre est automatiquement petite). Cela tient au fait que le passage aux sous-extensions non-ramifiées maximales - effectué en 3.7 pour (i), et ci-dessus pour (ii) - est bien trop brutal pour être optimal. Pour obtenir de meilleures bornes, il faudrait peut-être utiliser des formules explicites pour les symboles locaux. Nous espérons y revenir dans un travail ultérieur.

La question 2.1 admet l’affaiblissement suivant :

Question 3.10 A-t-on toujours loc_{S_{p}} V̂^{(i)}(F, p^{k}) = loc_{S_{p}} V̂^{(j)}(F, p^{k}), lorsque i ≡ j mod [F (μ_{p^{k}}) : F] ?

Une réponse positive à cette question permettrait de faire disparaître le facteur o(p^{t}cap^{(i)}(F_{∞}/F)) omniprésent dans les minorations de ce paragraphe (pour S = S_{p} ∪ S_{∞}).

Bien que les bornes de la proposition 3.2 ne soient pas très bonnes, elles peuvent être aussi grandes qu’on le souhaite. Par exemple :

Proposition 3.11 On suppose que F vérifie la conjecture de Gross. Si L = ∪L_{k} est une ℤ_{p}-extension de F vérifiant : (H) F possède une p-place v, inerte dans L/L_{k}, pour k >> 0. Alors, il existe une constante c, indépendante de i et k, telle que pour i ≥ 2 :

i ≡ 1 mod[F (μ_{p^{k}}) : F] ⇒ o(cap^{(i)}(L_{k}/F)) ≥ p^{k−c}

Preuve : On utilise la minoration (i). Notons p^{c_{1}} le nombre de places au-dessus de v dans L, c_{2} = v_{p}(v(p)), et p^{c_{3}} l’exposant du sous-module fini maximal de X′(F_{∞}). On peut prendre c = c_{1} + c_{2} + c_{3}.

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Remarque 3.12 En fait, l’image de p dans F^{×}/F^{×p^{k}} est un élément de V^{(i)}(F, p^{k}), si i ≡ 1 mod p^{k} (raisonner dans l’extension cyclotomique de ℚ). On voit donc que dans la proposition ci-dessus, l’hypothèse de Gross est superflue, et que l’on pourrait en fait prendre c = c_{1} + c_{2}.

Remarque 3.13 En considérant π_{n} = N_{F (μ_{p}^{n})/F_{n}}(1 − ζ_{p^{n}}) ∈ Û′_{F_{n}} on peut adapter l’argument ci-dessus pour montrer l’existence d’une constante c, indépendante de n, telle que

i ≡ 1 mod[F (μ_{p}) : F] ⇒ o(cap^{(i)}(F_{n}L_{n}/F_{n})) ≥ p^{n−c}

En utilisant le lemme 4.10 de [13], on en déduit que l’existence d’une ℤ_{p}- extension L/F vérifiant l’hypothèse (H) entraîne une réponse positive à la question 4.1 de loc. cit.

Bien sûr, si p ne se décompose pas dans F, l’hypothèse (H) n’est vérifiée par aucune ℤ_{p}-extension de F.

Question 3.14 A quelle condition nécessaire et suffisante F possède-t-il une ℤ_{p}-extension L/F vérifiant l’hypothèse (H) ?

Voici une condition suffisante :

Lemme 3.15 Soit F/ℚ une extension galoisienne dans laquelle p se décompose. Si le sous-corps de décomposition de p possède au moins une place complexe et vérifie la conjecture de Gross, alors F possède une ℤ_{p}-extension L/F vérifiant l’hypothèse (H).

Preuve : Comme la propriété (H) est invariante par changement de base, on peut supposer que p se décompose totalement dans F. Mais alors on a F_{v} = ℚ_{p} en toute p-place v. Soit F̃/F la composée de toutes les ℤ_{p}-extensions de F et Γ̃ = G(F̃/F). Il s’agit de montrer que pour une certaine p-place v, (F̃)_{v} contient la ℤ_{p}-extension non ramifiée ℚ_{p}^{nr} de ℚ_{p}. Si ce n’était pas le cas, on aurait en fait (F̃)_{v} = ℚ_{p}^{cyc}, la ℤ_{p}-extension cyclotomique de ℚ_{p}. Mais alors, X′(F_{∞})_{Γ} ↠ G(F̃/F_{∞}), ce qui contredit la conjecture de Gross (laquelle postule la finitude de X′(F_{∞})_{Γ}).

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Ce lemme et la remarque 3.13 fournissent une nouvelle classe de corps F vérifiant la conjecture (GGf)^{(i)} de [13] pour tout i ≡ 1 mod[F (μ_{p}) : F].

Remarque 3.16 Pour 3.11 et 3.13, on a utilisé uniquement la minoration (i). On pourrait aussi utiliser la minoration (ii) pour produire d’autres exemples (du type F_{n}(^{p^{n}} \sqrt{π}_{n})/F_{n} avec n >> 0, lorsqu’il existe L/F comme dans la question 3.14).

Références

[1] J. Assim, A. Movahhedi, Bounds for Étale Capitulation Kernels, K-Theory, 33 (2004), 199-213.

[2] L. Federer, B.H. Gross, with an appendix by W.Sinnott, Regulators and Iwasawa Modules, Invent. Math. 62 (1981), 443-457.

[3] R. Greenberg, A note on K_{2} and the theory of ℤ_{p}-extensions, Amer. J. of Math. 100, No.6. (1978), 1235-1245.

[4] K. Hutchinson, Tate kernels, étale K-theory and the Gross Kernel, Preprint (2005).

[5] K. Iwasawa, On cohomology groups of units for ℤ_{p}-extensions, American J. of Math., 105 (1983), 189-200.

[6] B. Kahn, Descente Galoisienne et K_{2} des corps de nombres, K-Theory 7 (1993), 55-100.

[7] M. Kolster, A. Movahhedi, Galois co-descent for étale wild kernels and capitulation, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 50 (2000), 35-65.

[8] T. Nguyen Quang Do, D. Vauclair, K_{2} et conjectures de Greenberg dans les ℤ_{p}-extensions multiples, Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 17, No.2. (2005).

[9] P.Schneider, Über Gewisse Galoiscohomologiegruppen, Math. Z. 168 (1979), 181-205.

[10] J-P. Serre, Corps locaux, Hermann (1968).

[11] C. Soulé, K-théorie des anneaux d’entiers de corps de nombres et cohomologie étale, Invent. Math. 55 (1979), 251-295.

[12] J. Tate, Relations between K_{2} and Galois cohomology, Invent. Math. 36 (1976), 257-274.

[13] D. Vauclair, Cup produit, noyaux de capitulations étales et conjecture de Greenberg généralisée, K-theory 36, No.3 (2005), 223-244.

[14] D. Vauclair, Conjecture de Greenberg généralisée et capitulation dans les ℤ_{p}-extensions d’un corps de nombres, thèse, Besançon (2005).

[15] D. Vauclair, Sur la comparaison des noyaux de Tate d’ordre supérieur, Publications Mathématiques de Besançon (2006)

[16] D. Vauclair, Sur les normes universelles et la structure de certains modules d’Iwasawa, en préparation.